水野の数学参考書レビュー［高校数学・大学入試］

勤務校で実施している新中１生対象の講習会も３回が終了。あと２回を残すまでとなりました。今日は、第２回の内容を書き起こしてみます。図がなくてわかりにくいところが多いのですが、ご容赦願います。

第２回：「コピー用紙の秘密」

（まず最初に、白紙のコピー用紙を１枚ずつ配りました）

さて、いま配ったのは・・・紙です。普段からよく見慣れている紙です。小学校でも、塾に行っていた人は塾でも見たことがありますね。実はこの紙には名前がついているんです。知っていますか？「コピー用紙」・・・そうですね。お店でコピー用紙を買ったことがある人は知っているかも知れませんが、実はコピー用紙の大きさには呼び方があって、皆さん「Ａ４」とか「Ｂ５」とか、聞いたことがありませんか。そうです、あれが紙の大きさを表す名前なんです。

さて、皆さんがよく使っている紙は・・・だいたい３種類です。今皆さんが持っているのがＢ５。大学ノートと同じ大きさです。あと、大きめのプリントで使っている紙はＢ４、ノートを開いた大きさです。逆にＢ４を２つに折って切るとＢ５になるんですよ。これとは別にＡ４という紙もあります。Ａ４は新聞広告なんかでよく見かけます。あと、皆さんが持っている教科書です。大きさは主に２種類あると思いますが、小さい方をＡ５といいます。Ａ５はＡ４の半分です。

・・・だんだん規則がわかってきましたか？ということは、Ｂ４の２倍がＢ３、Ｂ３の２倍がＢ２、Ｂ２の２倍がＢ１、じゃあＢ１の２倍は・・・もうこの黒板よりも大きくなってると思いますけど・・・そうＢ０です。

ということは、小さい方もありますよね。いま配ったＢ５の紙を半分にしてみましょう。こうすると？・・・そうＢ６になります。このうち１枚は使いますから残しておきましょう。もう１枚のＢ６をさらに半分にして、Ｂ７を２枚つくりましょう。同じように、そのうち１枚を半分にしてＢ８をつくります。さあ、いま皆さんの机の上には、ノートのＢ５も合わせれば全部で４種類の紙がありますね。出来上がった４種類を見ていて、何か気づくことはありませんか？

・・・。

わかりましたか？実はこれらの紙、みんな「相似」なんです。たてと横の長さの比が、ずっと変わらないんです。すごいでしょ？・・・あれ、「えっウソ？」と疑っている人がいるみたいですね。それなら、相似になっていることを納得してもらわないといけませんねえ。どうしますか？

＊＊＊ 「定規で長さをはかる」

もちろんそれでもＯＫですけど、たて：横の計算を４回しなくてはなりません。面倒くさいから今回はパス。それ以前に、今回は定規を持ってくるように言わなかったから、持ってきてない人もいます。

＊＊＊ 「並べる」

これなら出来そうですね。どう並べますか。・・・ええと、全部の紙を横向きにして、左下を揃えるんですね。なるほど。すると・・・？ほらほら、紙の右上の部分どうしが、一直線に並びましたよ。これを見たら、Ｂ８をたて横同じ割合で拡大したらＢ７、Ｂ６となっていくことが納得できたでしょう。面白いですね。実は、Ａ４やＡ３の紙も同じ性質をもっています。他の紙で皆さんがよく目にするものに新聞紙などがありますが、同じことが新聞紙でできるかどうか試してみたところ、うまくいきませんでした。どうやら、コピー用紙のたての長さと横の長さの比には、特別な秘密がありそうです。

今ここに、Ｂ０の紙のたてと横の長さの載った資料があります。言いますね。長い辺の長さを短い辺の長さで割ってみましょう。私もやってみましょう。すると・・・約１．４１になります。この「約１．４１」という数に秘密があるようですね。

※ 以下、長方形の頂点にＡ〜Ｄの名前をつけて（ＡＢとＤＣが短い辺）説明します

実は、これがどういう長さなのかということを、皆さんに納得してもらおうと思って、私自身、いろいろな方法を考えましたが、その中で最もわかりやすいだろうと思われる方法を、今から皆さんに試してもらいます。この長方形を角Ｂで折って、頂点Ｃが辺ＡＤに重なるようにしてください。この状態で、ＡＢの長さとＡＣの長さを比べるのです。今度は角Ａを４５度に折って、辺ＡＢを辺ＡＤに重ねるようにしてみます。すると・・・？

・・・おっ、こんどは頂点Ｂも、Ｃと同じ場所に重なってしまいました！

そう、三角形ＡＢＣは二等辺三角形・・・角Ａは直角ですから、そう「直角二等辺三角形」とわかりました。ＡＢの長さを１としたときＡＣの長さが約１．４１でしたね。長さ１の直角二等辺三角形の斜めの辺の長さが約１．４１になるということです。もっとわかりやすくするために、これと同じ紙を４つ作って並べたところを考えます。すると、斜めの辺で正方形をつくることができます。この正方形の面積は、ひし形の面積の公式を使えば、２×２÷２＝２と求まります。そう、さっき皆さんに計算してもらった１．４１は、

＊＊＊ 面積が２の正方形の１つの辺の長さ

なんです！！この数、紙以外にもいろいろなところで使われる数で、こまかく計算していくと、１．４１４２１３５６・・・といくらでも数字が続いていくのですが、毎回１．４１４２・・・と書いたり電卓で打ち込んだりするのは大変なので、特別な記号を使って表します。聞いたことあるでしょう？・・・そう「ルート」です。「√」という記号を使って、√２と表します。面積が２、になる正方形の１辺の長さなので、√２です。検定教科書では中３。勤務校の皆さんは遅くとも中２、早ければ中１の後半で正式に習います。

実は、こんなふうに紙の規格を決めたのは、じつは日本人なんです。すごいでしょう。どうしてこういうことを考えたかというと、それは紙屋さんの立場になってくれたらわかると思います。もし、紙を買う人がてんでバラバラのサイズで注文してきたらどうしますか？大変でしょう？倉庫には大きい紙があって、それより小さい紙を売るときは紙を切っていくことになるのでしょうが、１００００枚くださいって注文を受けて、何時間もかけて切ったのに、注文が取り消しになったり途中でサイズが変更になったりしたら・・・大損ですよね。「訴えてやる！！」とか○○弁護士に相談しないといけなくなったりして。でも、みんながもし同じサイズの紙を注文してくれるのなら、紙屋さんは困らないし、注文がくる前から紙を準備しておくこともできるようになります。みんな得をするんです。このお話、私も別の先生から聞いて知ったんですが、なるほどと思いました。

ルートの記号はほとんどの国で中学までに習いますが、それを使って紙のサイズを決めるというのが

＊＊＊ 数学を生活に役立てる

ということです。皆さんは、ただ単に授業で先生が説明した内容を覚えたり、入試の問題が解けるようになるだけでなく、社会に出てからそこで得た知識や知恵を生かせるようになって欲しいのです。それを言うのに、今回の講習会はちょうどよいチャンスだと思って、この話をさせてもらいました。

これで今回のお話はほとんど終わりなんですけど、おまけでもう１つ。単に元の紙と２つ切りにした紙が相似になればいいのなら、１：√２ならどんなサイズでもいいはずです。１ｍと１．４１ｍなんかにした方がわかりやすいはず。なぜ「この」大きさなんでしょうか？

実は、さきほどＢ０のたてと横の長さを教えてあげましたが、今度は割り算ではなく、かけ算をしてみてください。およその大きさが重要なんですけど、何かきっちりした数に近くなりませんか？かけ算の結果、単位は平方ミリメートルになりますから、単位も別のにしましょう。すると・・・そう、

＊＊＊ １．５平方メートル

になります。長さでなく、面積がきれいな数字になるんですね。さ〜っすが日本人はたいしたものだな・・・と私は思うんですけど、皆さんは今の話を聞いてどうですか？昔、日本が貧しかったころ、日本人はこういう知恵で、国全体を成長させてきたんだなあということが、こういうことからもわかります。皆さんは、日本をどこへ導いてくれるのでしょうか。楽しみにしています。

（問）Ｂ４のコピー用紙とＡ４のコピー用紙を１枚ずつ用意します。定規で辺の長さを計ったりせずに、長さが同じになる部分を探して、２つの紙の面積比を求めてみましょう。
※ 純粋に中３の知識を要するので、今回の授業では扱えませんでしたが、面白い問題です。実は、Ｂ４の紙の長い方の辺と、Ａ４の紙の対角線がぴったり重なります。

＝＝＝＝＝