listen to my digital heartbeat.

　朝ジョグ。朝8時を過ぎているというのに、西の空にまだ大きな月が浮かんでいた。

　良い天気。走り始めの気温はマイナス4℃前後だったが、1時間後にはマイナス1℃台前半にまで上がっていた。今日は気温は上がるのかな？

　除雪された歩道の雪面は踏み固められており走り易い。反対に、交差点の車道は雪の下にツルツルに凍った氷面が隠れておりなかなか怖い。

　3日振りのジョギングだと言うのに、楽ではない。と言うか、楽なペースで走れない。胸が苦しい。

　今日の北大メインストリート1km（8.8-9.8km）のタイムは…、4分57秒。メインストリートの車道は凍っておらず走り易かった。11km辺りで今日も一瞬だけ左足の親指の爪にチクリとした痛みあり。

　自宅に帰ってくると、郵便ポストに来年のサロマの大会の案内ハガキが届いていた（今年からパンフレットではなくハガキになったようだ）。2016年大会のエントリー開始日時は「2016年01月27日（水）20時」とのこと。

　と言うワケで…、「第31回サロマ湖100kmウルトラマラソン兼IAU100km世界選手権2016日本代表選手選考会」まで、あと180日！

　朝-2.6℃12.6km1時間10分09秒。累積走行距離2061.9km。

　最近、算数・数学教育関係の本や教育社会学の本を読んだりして、自分の学生時代（主に10代の頃）についてよく想い出す。

　自分は「第一歩」でつまずく例が多いのだ。しかも、単に「用語」の意味がわからない、という場合が多い。例えば、数学で「任意の実数x」というように使われる「任意の〜」という言葉の意味がわからず、そこでつまずいてしまうとか。

　もちろん、その「用語」がある重要な「概念」を表していて、その「概念」を直観的に捉えられなかった、という場合もあるのだろう。例えば、物理だと「作用・反作用の法則」がわからない。と言うか、「力」がよくわからない。電気関係だと「電圧」という概念がわからない。経済学だと「需要」がわからない。だけど、こういう学問（科目）は、最初からこれらの概念を用いて論を展開していくので、僕は「途中で付いて行けなくなる」のではなく、「最初から付いて行けない」のである。

　僕は言葉を「文字通りの意味にとってしまう」傾向がかなり強い。「第一歩」ではなかったかもしれないが、プログラミングの世界の「名前空間」だとか「データベース」だとか、普通の人にとって「何がわからないのかわからない」というようなもので自分は容易につまづいてしまう。しかも、立ち上がれない（涙）。わからないものはわからないんだから、そのままわからないままになってしまう。そういう意味では、専門用語には「概念の本質を言い表す適切な用語」を採用して欲しい（例えば、僕には「データベース」という通称よりも「DBMS: DataBase Management System」の方がピン！とくる。「Data Management System」の方がもっといい。「名前空間」は…、まぁ苦慮した上での命名なんだろうけど…）。

　統計学（線形代数？）で「変数をベクトルと見なす」ってのも、言っている意味がどうしてもわからなかった（過去形で書いたが、もちろん今もわからない（涙））。統計手法の多くは「ベクトルの内積がゼロ」という条件を利用している（それが前提となっている）から、そもそも「変数をベクトルと見なす」という意味がわからないと、結局何をやっているのかわからない。

　僕には「あまり質問しない」「わかっている人に教えて貰おうとしない」というところがあるので、それも災いしているのかも（父親が「ひとに訊く前にまず自分で考えろ」、母親も「自分の頭で判断しなさい」という人だったので、おそらくその影響）。ただ、わからないことを誰かに訊いてみて、わかったことってほとんどない。たいていは「何がわからないのかわからない」という返答が返ってくるだけ。易しい入門書は読んでも役に立たないし（そういう本は概念の説明をすっ飛ばして「習うより慣れろ」的態度をとっているものが多い）。難しい入門書（教科書）は、そこに書いてあることを理解するだけの枠組みがこちらにない。自分としては八方塞がりなのだ。

　「オブジェクト指向プログラミング」も、「どうしてここまでわからないことがあるのだろうか！？」というくらいに、本当にわからなかった（これは、今はそれなりにわかるようになった）。プログラミング関係は「悪い説明が多い」というところが大きいんじゃないか、という気がするけど。

　自分なりに考えてみると、

・概念自体が難しい、と思われるもの
力、電圧、需要

・考え方がわからない、と思われるもの
作用・反作用の法則、変数をベクトルと見なす、オブジェクト指向プログラミング

・説明が悪い、用語自体が悪い、と思われるもの
任意の〜、電圧、需要、名前空間、データベース、オブジェクト指向プログラミング

　こんな感じだろうか。

　こうしてみると、一見「説明が悪い」だけ、と思われるものの中にも、「概念自体が難しい」ものも「考え方が難しいもの」も含まれているようだ。本質的に難しいものは本質的に難しいんだから、それを上手に説明できる人も少ないのだろう（どうせ上手く説明できない（説明する気もない）クセに入門書・解説書・参考書の類がたくさん出版されているのは何なんだろう？　そういう本の著者って一体何を「説明」した気になっているのだろう？）。

　まぁ、僕は「勉強したことがない」人間なので、「自分に適した勉強の仕方」がいまだに身についていない、ということなんだろうけど…。世の中、わからないことだらけ、「つまずきポイント」だらけ、なのだ。

　朝ジョグ。

　昨夜は綺麗な満月が雲のない夜空にクッキリと浮かんでいたが、昼間はずっと雪だったようだ。すかさず除雪されたのか歩道上の雪は踏み固められており走り易いが、車道はツルツルに凍っていて交差点を渡るのが怖い。

　気温はマイナス5℃を下回っていた。僕の感覚では、マイナス5℃を下回ると空気が硬い。マイナスでも5℃より上だと柔らかい。今日は硬い。

　今日の北大メインストリート1km（8.8-9.8km）のタイムは…、4分58秒。最後ちょっと頑張っちゃった（笑）。土曜日の朝だと言うのに、今日はトータルで10人弱の雪中ランナーと擦れ違った。

　1カ月前のジョギング再開以降だいたい2日に1回のペースを（意外なことに）維持できていたが、ここへきて4日振りのジョギングになってしまった。まぁ、今月あと2回走れば、目標の2073.6kmにギリギリ到達できそうなのだが…。

　その分今日は身体の方には余裕があったのだが、途中から左足の親指の爪がチクリと痛み始めた。嫌だなぁ〜。

　朝-4.7℃12.6km1時間13分40秒。累積走行距離2049.3km。

　
　『中高一貫教育をサポートする　体系数学1　代数編（四訂版）』（岡部（編）　2015年　数研出版）の「1次方程式の利用」の節に、次のような問題が載っていた。

妹が、家から1.5km離れた駅に向かって出発した。妹が出発してから12分後に、姉が自転車で同じ道を追いかけた。妹の歩く速さは分速70m、姉の自転車の速さは分速210mであるとき、姉は出発してから何分後に妹に追いつくか求めなさい。

　こういう問題は苦手だ。頭の中で見当をつけようにも「えぇと、1分後には姉は○m進んでいて、そのとき妹は△m進んでいて、2分後には姉は○m進んでいて、妹は…」と「ゼノンの『アキレスと亀』のパラドクス」のような（って違うけど（笑））、まさに「追いかけっこ」が始まってしまうのだ。解答が整数ならこの方式でも答えが出るかもしれないが、分数となるともうお手上げだ。

　教科書では、姉が妹に追いついた時点で、両者の進んだ距離が等しいことに注目し、まず
　210x = 70(12 + x)
という方程式を立てる。姉が進んだ距離が「210x」で妹が進んだ距離が「70(12 + x)」だ。次いで、右辺を展開し、
　210x = 840 + 70x
右辺の「70x」を左辺に移項し（あるいは、「両辺から『70x』を引いて」）、
　140x = 840
両辺を6で割って、
　x = 6
と、姉が家を出てから6分後に妹に追いつくことを算出している（その後、念のため、6分で1260m進むので妹が駅に着いてしまう前に追いつくことを確認する）。

　この教科書は「検定外教科書」で、学習指導要領の内容に沿わずに内容が構成されているのが特徴。そのため、中1レベルの「1次方程式」の節のすぐ後に中2レベルの「連立方程式」が続く。また、後の章では、中2レベルの「1次関数」も学ぶ。

　これらを続けて学習してみると、僕にはこの問題は（「1次方程式」の問題ではなく）最初から2元1次方程式の連立方程式の問題（同じことだが、「2本の直線の交点のx座標を求める問題」）として考えた方がずっとわかりやすいことに気付いた。

　つまり、まず姉の進む距離を
y = 210x
と表し、次に妹の進む距離を
y = 70(12 + x)
と表し、「両方の方程式のyが等しい」と考えて、冒頭の
　210x = 70(12 + x)
という式を立てる方が、僕には簡単なのだ。つまり、「何と何が等しいのか」を考える前に、姉と妹のそれぞれの動き方について単独に考えてみる「下準備」が僕には必要なのだ。

　こうしてみると、僕にとっては、中1レベルの「1次方程式」よりも中2レベルの「連立方程式」の問題を解く方が簡単である。もちろんだからと言って、「連立方程式」の方を先に教えろ、とは言えないが…（それはもちろん、1元1次方程式の構造や解法を理解して初めて、連立方程式というものを理解できるので…）。

　今回更に「面白いな」と思ったのは、僕にとって
　210x = 70(12 + x)
という方程式を思い付くのが難しいのは、「両辺に異なる速度で動くものが含まれている」からなのだが、その計算の途中で現われる等式
　140x = 840
ならスンナリ受け容れられる、ということだ。この「140x」が何を意味しているかを考えてみると、姉と妹の速度の差、つまり、「1分間で縮まる2人の距離」なのだ。言わば、2人の動きを動かない定点から眺めるのではなく、妹と同じ速度で動きながら眺めると、ただ姉がジワジワ近づいてきているだけなのだ（妹の立場に立って、「姉はいつ追い付いてくれるだろうか？」と考えてみるとよい）。

　そう考えると、この問題を「（姉の出発時点でついていた）840mという差を何分で取り戻せるか（差をゼロにできるか）」という問題だと理解していれば、最初から
　840 - 140x = 0
という方程式を立てていただろうし、この問題に悩まされることもなかったのだ。

　こんなこともまた、中学生の時には考えたこともなかったよ…。

　早朝ジョグ。

　気温はプラス、昨日の雨で歩道上の雪はだいぶとけ、アスファルトの露出しているところといかにも滑り易そうな雪が固まっているところがある。スノーライドを履くのが勿体ないような、かと言って普通のランニングシューズで走るのも嫌な、そんなコンディション。

　6kmを過ぎて、フクラハギに疲労感。やはり滑り易い雪の上を走ると、脚が空回りしてしまうのかもしれない。

　今日の北大メインストリート1km（8.8-9.8km）のタイムは…、4分52秒。追い風参考（笑）。今日は少しだけ風があった。メインストリートは一部を除いてほぼアスファルトが出ていた。

　今日が冬至だそうだ。今日を境にまた日が長くなってくると思うと嬉しい。徹夜して外が明るくなってくる感じが昔から好きなのだ（笑）。

　早朝0.9℃12.6km1時間07分34秒。累積走行距離2036.7km。

　最近読んでいる（と言うか、これを使ってお勉強している（笑））『中高一貫教育をサポートする　体系数学1　代数編（四訂版）』（岡部（編）　2015年　数研出版）のコラムに、「和算」の問題が紹介されていた。江戸時代の数学書『塵劫記』に載っている「油分け算の事」なるものだとか。

　1斗オケに、いま油が1斗入っている。7升マスと3升マスを使って、5升ずつに分けるにはどうすればよいか。（1斗は10升にあたります。また、与えられた3つの容器以外は使ってはいけません。）

　おそらく…、一度7升マスに移した油の一部を3升マスに移したり、そうしてできた（7升マスの）4升分の油をまた1斗オケに戻したり、あれこれやるんだろうなぁ〜、という予想はついたのだが…、勉強そっちのけでチャレンジしたにも関わらず、上手く5升ずつに分けることができなかった。

　教科書では「7升マスでx回、3升マスでy回1斗オケから油をくみ出す」として
　7x + 3y = 5
という式を立て、この直線のグラフを座標平面上に描いて整数解を見つけ出す、という作戦をとっていた。「点（-1, 4）、（2, -3）などが答えとなります」とある（それぞれ「3升マスに4回くみ出し、7升マスで1回戻す」「7升マスに2回くみ出し、3升マスで3回戻す」ということ）。うぅ〜ん、できなかった（涙）。途中まではいいセンいってたと思うんだけど…。

　悔しいので、この問題を解くコンピュータ・プログラムを書いてみることにした。今回もRuby。

　直観的に、こういう「試行錯誤するプログラム」「あれこれやるプログラム」「何度も行ったり来たりするようなプログラム」は「関数の再帰呼び出し」による「再帰的処理」が適しているに違いない、と考えた（迷路を行きつ戻りつ（バックトラッキング）して、出口へのルートを探索するようなイメージ）。そう考えてみると、そもそも問題が「ハノイの塔」なんかと似た構造をしているような気もする。

def move(route, results)
　move2(route, 0, 1, results) #　1斗オケ→7升マス
　move2(route, 0, 2, results) #　1斗オケ→3升マス
　move2(route, 1, 0, results) #　7升マス→1斗オケ
　move2(route, 1, 2, results) #　7升マス→3升マス
　move2(route, 2, 0, results) #　3升マス→1斗オケ
　move2(route, 2, 1, results) #　3升マス→7升マス

　#　先へ進めなくなったので、直前の状態へ一歩後退
　route.pop
end

def move2(route, from, to, results)
　state = route.last.dup

　#　移し元が空の場合と移し先が満杯の場合は移せない
　return if state[from] == 0 || state[to] == $CAPACITY[to]

　if state[from] >= ($CAPACITY[to] - state[to])
　　state[from] -= ($CAPACITY[to] - state[to])
　　state[to] = $CAPACITY[to]
　else
　　state[to] += state[from]
　　state[from] = 0
　end
　#　既に経験した状態には移行しない（永遠に行ったり来たりしちゃうので）
　return if route.include?(state)

　#　5升ずつに分けられたら成功例として記録
　if state == $GOAL
　　results.push(route.dup.push(state))
　　return
　end

　#　次の状態へ一歩前進
　move(route.push(state), results)
end

START = [10, 0, 0]
$GOAL = [5, 5, 0]
$CAPACITY = [10, 7, 3]
results = [ ]

#　初期状態からスタート！
move([START], results)
#　成功例を手数の少ない順に出力
results.sort_by{|arr| arr.size}.each{|arr| p arr}

※html上でインデントさせるために全角スペースを入力しています。そのため、このままコピーして実行してもエラーが出ると思います。

　で、このプログラムを実行すると…、20通りのやり方が見つかった（もちろん、最初から正しく動作するプログラムを書けたワケではなく、相当苦労したのだが（涙））。ただ、その中には、「まず1斗オケから、7升マスに移し、そのうち3升分を3升マスに移し、残り4升を1斗オケに戻す」というような無駄に手数を要するものも多く含まれていた（この場合、最初から1斗オケから3升マスに油を移せばいい）。

　そこで、20通りのやり方のうちの手数の少ないトップ2を選び出してみたところ…、それぞれ教科書に載っていた「7升マスに2回くみ出し、3升マスで3回戻す」「3升マスに4回くみ出し、7升マスで1回戻す」に該当する手順であることがわかった。こんな具合だ。

　まず初期状態[10, 0, 0]は、1斗オケに10升の油が入っており、7升マスと3升マスは空であることを示している。その状態で「1斗オケ→7升マス」と油を移すことによって、次の[3, 7, 0]（1斗オケに3升分の油が残っており、7升マスは満杯、3升マスは空）という状態へ移行する。

00:[10, 0, 0]　1斗オケ→7升マス
01:[3, 7, 0]　7升マス→3升マス
02:[3, 4, 3]　3升マス→1斗オケ
03:[6, 4, 0]　7升マス→3升マス
04:[6, 1, 3]　3升マス→1斗オケ
05:[9, 1, 0]　7升マス→3升マス
06:[9, 0, 1]　1斗オケ→7升マス
07:[2, 7, 1]　7升マス→3升マス
08:[2, 5, 3]　3升マス→1斗オケ
09:[5, 5, 0]　できた！

　これが最短（9手）の手順で、「7升マスに2回くみ出し、3升マスで3回戻す」。次が「3升マスに4回くみ出し、7升マスで1回戻す」やり方（10手）。

00:[10, 0, 0]　1斗オケ→3升マス
01:[7, 0, 3]　3升マス→7升マス
02:[7, 3, 0]　1斗オケ→3升マス
03:[4, 3, 3]　3升マス→7升オケ
04:[4, 6, 0]　1斗オケ→3升マス
05:[1, 6, 3]　3升マス→7升マス
06:[1, 7, 2]　7升マス→1斗オケ
07:[8, 0, 2]　3升マス→7升マス
08:[8, 2, 0]　1斗オケ→3升マス
09:[5, 2, 3]　3升マス→7升マス
10:[5, 5, 0]　できた！

　僕は「再帰的処理の魅力」に目覚めるのに随分時間がかかったタイプで、再帰関数のプログラムを書くのなんてこれが人生2度目くらい？　再帰の「何だかよくわからないうちに処理ができちゃう」感じが面白いんですよね。関数の再帰呼び出しに関してはLISPの本が参考になると思います（あんまりないけどね）。

　Enjoy Programming!


※2つの関数「move」と「move2」を相互に呼び出しているので、純粋な「再帰呼び出し」ではないかもしれないが…。
※最短経路を探すプログラムってどう書くんだろうな…。
※その後、解法をアルゴリズム化できました。

　早朝ジョグ。

　気温はプラス、歩道上もシッカリ除雪されており、雪面も踏み固められている。ツルツルに凍ったところもほとんどない。走り易いコンディション。

　ところが！　何でもない雪面にけつまずいて、またしても転倒！　前回も今回もスッテンコロリンと転がったワケではないにせよ…。

　今日の北大メインストリート1km（8.8-9.8km）のタイムは…、5分06秒。ラップタイムを計るツモリが、誤ってストップウォッチ自体を止めてしまったようだ。と言うワケで、今日のタイムは不明。

　早朝0.8℃12.6km。累積走行距離2024.1km。

　中学校までは1番の得意科目だったのに、高校に入った途端に全くわからなくなってしまった数学。よほどコンプレックスがあるのか、ときどき勉強し直したくなる。今回は『中高一貫教育をサポートする　体系数学1　代数編（四訂版）』（岡部（編）　2015年　数研出版）という検定外教科書を買ってきて、ほぼ10年振りに中学校数学から勉強し直している。高校数学からやり直せばいいものを、（やり直す必要のない）中学校数学からやり直してしまう辺りが、永遠にプログラミング言語入門を読み続けてしまう僕の性向というものなのだろう。


　10年前にやり直したときに一番シビれたのは中1レベルの最初の部分だったように思う。「数直線」なんて何てことのないアイデアが非常に面白いものに思われた（今回は「座標平面」にシビれている（笑））。小中高と僕には家で勉強する習慣はなかった。授業は聞いていたが、塾にも行っていなかった。今回は教科書に載っている全ての練習問題を解いている。こんなに勉強したのは生まれて初めてだ（笑）。

　久し振りにやり直してみると、いろいろなことに気付くものだ。例えば、こんな中1レベルの「方程式」の問題…。

何人かの子どもにお菓子を分けるのに、1人に4個ずつ分けると2個余り、1人に5個ずつ分けると5個足りない。子どもの人数とお菓子の個数を求めなさい。

　教科書の解説では、以下のように式を立て、問題を解いている。

　子どもの人数をx人とすると、お菓子の個数は「4x + 2」個あるいは「5x - 5」個と表すことができる。当然両者は一致するから、
　4x + 2 = 5x - 5
という方程式を立てる。これを解くと、
　x = 7
と子どもの人数がわかるので、x = 7を「4x + 2」あるいは「5x - 5」に代入して、
　30個
というお菓子の個数を算出する。何てことはない、よくある文章題だ。

　今回、ふと、この方程式を解く過程で現われる、
　2 = x - 5
という等式が何を意味しているのかを考えてみた。

　この式は、最初に立てた方程式
　4x + 2 = 5x - 5
の両辺に「-4x」を加えると得られるのだが…、「-4x」を加えるってどういうことだ？

　つまり、4個ずつ配ろうが5個ずつ配ろうが、「無事に配ることができた分」が「4x」であり、その分を両辺から引いてしまったワケだ。では、残された
　2 = x - 5
は何を意味しているのだろう？

　考えてみるとこれは、「2個という個数は、子どもの人数より5個少ない」ということである。日常的な言葉で言えば、「2個あるが、人数分には5個足りない」ということである。だから子どもの人数は「2個」と「5個」で「7人」なのである。

　こうしてみると、問題文の「4個ずつ分ける」「5個ずつ分ける」という情報は本当は必要なかったことがわかる。実際、問題文の一部を変更して、

何人かの子どもにお菓子を分けるのに、1人にある個数ずつ分けると2個余るが、もう1個ずつ分けるには5個足りない。子どもの人数とお菓子の個数を求めなさい。

という問題だったとしても、子どもの人数をx人、最初に1人当たりy個ずつ分けたとして方程式を立てると、
　xy + 2 = x(y + 1) - 5
カッコを外すと、
　xy + 2 = xy + x - 5
両辺から「無事に配り終えた分xy」を引くと、
　2 = x - 5
先ほどと同じだ。「2個あるが、もう1個ずつ配るには5個足りない」というところが問題の本質なのであって、「配ることのできた分」がいくつなのかはどうでもいい話なのである。だから問題文をよく読めば、最初から、
　2 = x - 5
という方程式を立てられるのかもしれない。

　というワケで、この問題は、一見未知数が2つあるように見えて、1つの方程式を解くだけで解が得られてしまう（もっとも、yはxの係数なのだから、結局のところこれはxについての1元1次方程式。そう考えれば当然なのだが…）。最初の問題文に「4個ずつ分ける」「5個ずつ分ける」とあるのは、「実はそれはどうでもいい」ということに気付かせないようにするために敢えて余計な情報を付け加えているのかもしれない。この問題の本質が「2個あるときに5個足りないのだとすれば、何人いるのか」を問うものだと気づいてしまうと、方程式を立てるまでもなく「7人」と正解を出してしまう生徒が現われるかもしれないからだ。

　中学生の頃はこんなこと考えたこともなかったよ…。

　『四訂版　中高一貫教育をサポートする　体系数学1　代数編』
　岡部　恒治（編）
　2015年
　数研出版
　★★★★☆

　中高一貫校向けに6年分の数学のカリキュラムを組み直した検定外教科書「体系数学」の、中学1・2年生用「代数（上）」。出版元は「チャート式」で有名な数研出版。サブタイトルは「数と式の基本的な性質を知る」。

　「正の数と負の数」「式の計算」「方程式」「不等式」「1次関数」「資料の整理と活用」の全6章構成。中学校に入学して初めて負の数を習い、文字を使った式の扱い、それを用いる方程式・不等式、1次関数のグラフ表現を学ぶ、といったところまで。「資料の整理と活用」では、主に記述統計の初歩について学ぶ。

　この「体系数学」の特長は、学習指導要領の内容に縛られずに、学習するトピックの関連性により章の内容や1冊の章構成、中高6年間で学ぶ数学の体系を再構成している点。例えば、第3章「方程式」では、学習指導要領では中1レベルの「1次方程式」と中2レベルの「連立方程式」を続けて扱い、続く第4章では、高校の数学�Tに含まれる「不等式」を扱っている。第5章でも、中1レベルの「比例・反比例とグラフ」と中2レベルの「1次関数とグラフ」を続けて取り上げている。確かに、関連するトピックを続けて学習した方が理解しやすいように感じる。

　学校の教科書なので当たり前だが、非常に素っ気ない（笑）。ただし、文章自体は簡潔なものの、何をどのような順序でどのような例を用いて説明するかはよく練られている、という印象。噛み砕いた解説は一切ないので（笑）、算数・数学に苦手意識をもっている中学生には参考書が必要になるかもしれないが（この「体系数学」シリーズに対応した参考書と問題集も数研出版から刊行されている）、少なくとも本書が新書1冊分の価格で手に入るというのは有り難い話（笑）だと思う。

　中学校卒業以来30年振りに中学校数学の教科書を開いてみて感じるのは…、「数学の教科書には、『何故それを学ぶのか』についての『目的』が書かれていない」ということ。行先も告げられずにただ「歩け」と言われているようなものだと思うのだ。「何故、文字を使った数式の扱いを学ぶ必要があるのか？」と言えば、直後に方程式や不等式を習う（そしてそれを活用する）からだし、「何で方程式なんて習うのか？」と訊かれたら、「応用すると便利だから」と答えればいい。何故たったそれだけのことが書いてないのだろう？　「この教科書では、これからこんなことを学ぶ。そのことによって、こんなことができるようになる」と「全体構想」を最初に示してくれてさえいれば…、「何でこんなことやらなきゃいけないの？」という不満は大いに軽減されると思うのだが（だから「大人向けの本」では、「本書の内容」が大抵前書きで示されるではないか）。だいたい若い頃というのは近視眼的にしかモノゴトをとらえられないものだから、よくて「文章題にも応用できる」くらいにしか思わないのではないか。本当はむしろ逆で、テストのために勉強するのではなく、「現実の問題を解く（力をつける）ために」方程式を習うのだと思うのだけど（先日読んだ『算数・数学が得意になる本』（芳沢光雄（著）　2006年　講談社）でも、「日本の数学教科書は全般的に応用の話題が少ないといえます」と指摘されていた）。

　それと、やはり『算数・数学が得意になる本』に「どうも日本の教科書は、ものわかりのよい優秀な子どもを対象にして記述してあるようで、一般に『反例』がきわめて少ないのです」と書いてあった通り、「間違った例」は（コラム中の）1例しか載っていない。ところが、人間の理解って「正しい例」ばかりを見ていても深まっていかない（涙）。「誤った例」を見て、「そうか、これをやったらダメなのか」と気づくもの（これぞ、畑村洋太郎的「失敗学」のススメ）。NHKテレビの語学番組なんかを見ていてもそう思う。生徒役のタレントが優秀過ぎるとダメ。お笑い芸人なんかがデキの悪いフリをして間違えてくれた時にこそ、多くのことを学べるのだ。人の振り見て我が振り直せ。

　あとは…、数学を学ぶことを通して「論理的思考や問題解決の力を身に付ける」という部分にはあまり焦点が当てられていないように思う。数学を学んでそういった力が身につかないのなら、それこそ何のために数学なんて習うのか。今回、意地で全ての練習問題を実際にやってみて（笑）感じたのは、「計算問題は解けば解くほどツマラなくなってくる」ということ。だって、それはもう「機械的処理」だから。そして、それが「機械的処理」なら、「コンピュータにやらせればいいじゃないか」という気持ちになってくる。だから本当は、もっと多くの様々な文章題を解かせ、「この問題を解くためには、何に注目して方程式を立てればいいのだろうか？」というような「着眼点」「目の付け所のセンス」のようなもの、あるいはそもそも「方程式や不等式を解けば、未知の値（の範囲）がわかる」という感覚を養うことをもっと重視してもよいと思うのだが…（そのために参考書があるのかもしれないが、だったら参考書を教科書にしろよ、とも思う。「註釈」が必要な教科書っていったい何なんだ？とも思うし）。僕は学校の教科書に多くを求め過ぎなのかな…。でも、誰の目にも触れる教科書だからこそ、ね…。

　本書の山場は、計算であれば「連立方程式」、概念的には「1次関数」か（「1次関数」の章末の演習問題では「考え抜く力」と「説明力」をそこそこ求められる）。結局「等式が成り立つ」ってどういうことだと理解するか。ただ、最初から最後まで読み通してみて、「将来的なつまずきポイント」になりそうに思ったのは「文字」のイメージ。意外だったのだが、方程式で使われるxやy等の文字は「変数」扱いされていない（xやyはその方程式（等式）を成り立たせる「特定の値」いわば「未知の定数」だから）。ところが、一見、等号を不等号に変えただけに見える「不等式」で扱われる文字は「変数」扱いされている（その不等式を成り立たせる「値の範囲」が問題となるため）。次の「比例・反比例」や「1次関数」になると、先ほどの方程式と同じようなものに思える数式中の文字も「変数」扱いされるようになる（様々な値をとるxとyの対応（写像）関係が問題とされるため）。このようにxやyといった文字の扱いのニュアンスが少しずつ変わっていくのだ。何かが違うのだけど、何が違うのかわからない（この辺りの戸惑いに関しては、『「なぜ？どうして？」をとことん考える高校数学』（南みや子　2013年　ベレ出版）でも、中学校数学ではある条件を満たす特定の値や範囲を求める対象に過ぎなかった「文字式」が、いつの間にか（笑）高校数学では数と数との対応（写像・関数）関係を示すものととらえ方が変わっていることを指摘している。「代数」から「解析」へ徐々に軸足が移っていく、ということなのだろうか？）。これはつまずく（笑）。

　この「体系数学」シリーズは、「体系数学1（中学1・2年生用）」の「代数編」（本書）と「幾何編」、「体系数学2（中学2・3年生用）」の「代数編」と「幾何編」、「体系数学3（高校1・2年生用）」の「数式・関数編」と「論理・確率編」、「体系数学4（高校2年生用）」（微積分の基礎と数列・ベクトル）、「体系数学5（高校3年生用）」（複素平面と微積分の応用）の計8冊で構成されている。

　全ての練習問題の解答を載せた「解答編」（学校では配布される前にあらかじめ抜き取られちゃうヤツ（笑））が55ページの冊子として付属する。単に正答が羅列されるだけのものではなく、正答を導き出す過程が記載されており、大変役に立った。

　本文180ページ程度（他に、確認問題・演習問題の解答、索引として8ページ）。



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　早朝ジョグ。

　昨日から降り続いていた雪は朝方にはやんでいたが、思ったより積もったようだった。自宅ベランダの手すりに積もった雪の高さを見ると、10cm程度か。ところが外に出てみて驚いた。場所によっては20cm近く積もっていたからだ。

　これがスキー場なら、これ以上ないくらいの極上のパウダースノー！　気温は比較的高く（マイナス2℃程度）、風もなく、明けてくる空に輝く木星と金星、針葉樹の上に樹氷のように積もった雪が美しい。これがクリスマス前後なら本当にロマンチックだろう。

※ちょうど今、明け方の南の空に、木星、火星、金星、土星がアーチを描いて並んでいるようだ。


　まだ交通量は少なく、車道を走ることも可能だったが、意地で（笑）歩道上を走った。6.5kmを過ぎて、右膝の筋肉に疲労感。膝で踏ん張らないと前に進めない。全く足跡のない道を数m走ってみてわかったが、積もった雪を掻きわけて走る場合、必然的に太腿を上げて走らざるを得ない。僕は普段あまり太腿を上げずに走るので、これはいいトレーニングになるかも…。上下動の大きな走りにはなってしまうが…。

　いたるところで、大型の除雪車、小型のブルドーザーが除雪作業を行っていた。そしてついに！　止まってくれていたブルドーザーの後を急いで通り過ぎようとして転倒！　今季初転びだ。作業中の車の周辺は特に気を付けないとならないのに…。

　今日の北大メインストリート1km（7.4-8.4km）のタイムは…、5分51秒。メインストリートの車道部分は自動車の走行には支障ない程度に除雪されていた。

　さて、今月あと何km走ろうか…。僕は去年518.4kmしか走っていない。その4倍、2073.6kmを今年の目標とすると…、あと60km？　12kmを5回ってところかな？

　早朝-1.8℃10.3km1時間05分27秒。累積走行距離2011.5km。