listen to my digital heartbeat.

　夜ジョグ。

　今月のジョギング回数の少なさは、僕らしい「後回し病」の結果だ。「朝食後に走ろう」→「昼前に走ろう」→「昼食後に走ろう」→「夕方に走ろう」→「夕食後に走ろう」→「深夜前に走ろう」→「真夜中に走ろう」→「明日の朝走ろう」…、以下繰り返し。「今」走らなきゃ、結局走らないのだ。

　今日ももう夜の9時15分、1時間15分走って帰ってくると、午後10時半。洗濯機回すのは迷惑な時間だよなぁ。明日の朝走ろうかなぁ…、となりかけたのだが…、今走らなきゃ、結局明日の朝だって走らないのだ。

　今日も最初から少し速めのペース。札幌駅から北大にかけての人通りの多い歩道の路面は雪が粉状（砂状？）になっていて走り難かったが、石山通りに抜けると通常通り。

　いつもは冬の間はもっとジックリユックリ走っているのだが…、無理にペースを落とすこともないだろう。腰を曲げないように腰高を意識して、腕を引き、両膝や両足が真っ直ぐ前を向くように意識して走る。

　今日の北大メインストリート1km（10.3-11.3km）のタイムは…、4分44秒。今日はこの1kmを随分長く感じた。東の空に大きく輝く木星。

　今年はサロマの前に、ゴールデンウィークのハーフマラソン大会にでも出てみようか…。これまで10kmの大会には1度も出たことがないから、10kmの部でもいいかも。「第2回北海道スノーマラソン大会」（2016年02月07日（日））にも結局参加申し込みしなかったし、「今」申し込まなきゃ結局申し込まない。「第28回日刊スポーツ豊平川マラソン」（2016年05月05日（木・祝））の参加受け付けは来月01日（月）から！

　夜-4.6℃14.1km1時間14分59秒。累積走行距離66.0km。「第31回サロマ湖100kmウルトラマラソン兼IAU100km世界選手権2016日本代表選手選考会」まで、あと148日。

　以前、天皇の座る椅子がやたらデカいことに気付き、これが「『象徴』の大きさか！？」と感心したことがある。


　だから、今日のニュースですぐに気付いた。皇太子の座る椅子は天皇の椅子よりずっと小さく、しかも目立たない色なのだ。天皇の椅子は、本当にもう「後光が差す」ような金色だもんね。


　やはり、椅子の大きさは「象徴」の大きさに比例している！？

　夕方ジョグ。

　昨夜、めでたく（？）サロマの大会のエントリーを完了。いつもならすぐに鼻息が荒くなって走りに出るところなのに、昨日はエントリーだけで疲れてしまい（笑）、妙に気が抜けてしまった。今から張り切り過ぎても仕方ないが、「ローテンション」というのも気がかり。

　去年はサロマもウルチャレも最後まで頑張り切れなかった。「何が何でも」という気迫が希薄だった。「もう自分には二度とあんな風な気持ちになることはないのかも」という気もしている。

　今日の札幌は、昨日・一昨日とは違い、明らかに空気が冷たい。日中の最高気温もマイナス5〜6℃だったようだ。寒いせいか、最初からペースは速め。

　ただ、こういう日は路面の雪が固く引き締まっていて走り易い。年が明けてからまだ4回目のジョギングだが、12月に比較的よく走った成果なのか、呼吸はさほど苦しくない。息を吸おうと思えば吸えるし、吐こうと思えば吐ける。

　今日の北大メインストリート1km（10.3-11.3km）のタイムは…、4分39秒（笑）。あ〜れ〜？　ローテンションが気がかりだったハズじゃ…（笑）。そりゃ5分は切りたいとは思ってたけどさぁ。鼻息荒くなってるんだろうか（笑）。

　さて、今月あと何km走るか…、ってあと3日しかないのか！？　今年は2月からだね。慌てずジックリ。

　夕方-5.2℃14.1km1時間15分41秒。累積走行距離51.9km。「第31回サロマ湖100kmウルトラマラソン兼IAU100km世界選手権2016日本代表選手選考会」まで、あとちょうど150日！

　プログラミングでフと「変数に値を代入したいんじゃなくて、変数の『意味』そのものを定義したいんだけどな」と思った。

　例えば、数学的な意味で、

dx = x1 - x2

と「定義」したいようなとき。変数dxに変数x1とx2の値の差を「代入」したいワケじゃない。だからやりたいことは、

dx = x1 - x2;

じゃない。

　dxを2つの値の差を返す関数として定義して、引数にx1とx2の値を渡す、というテはあると思う。

var dx(var x1, var x2) {
　return x1 - x2;
}

だけど、これだと

var diff(var x1, var x2) {
　return x1 - x2;
}

みたいな「2つの値の差を返す汎用的な関数」であって、気分的に違う。

　x1とx2をグローバル変数にしてしまって、

var dx(void) {
　return x1 - x2;
}

ということもできるけど、さすがに嫌だ。

　こういうとき様々なプログラミング言語においてどういう解決策が用意されているのだろう？と考えてみた。

　例えばCommon LISPだと、変数dxに「x1 - x2」という処理・手続きそのものを「代入」できることを思い出した。

(set 'dx '(- x1 x2))

　そうした後で、x1とx2に値を代入して、

(set 'x1 100)
(set 'x2 200)

　dxを「評価」すると、

(eval dx)
> -100

　ちゃんと値が出てくる。後からx1やx2の値を変更しても、

(set 'x1 50)
(eval dx)
> -150

　dxを「評価」したときの値はちゃんと変わる。dxには「x1を評価した値からx2を評価した値を引く」という処理そのものが代入されているのだから。

　こういうことって、関数型言語の系統に属するプログラミング言語やその血の混じっている言語（Ruby、Python、JavaScript、等々）だと普通のことなのだろう。

　まぁ、こういう素朴な（と言うか、ちゃんと考えてない）使い方が一般的なものなのか、これを多用したときにどんな問題が生じてくるものなのかよくわからないけどね（と言うか、ちゃんと考えてない（笑））。

　例の「4つの数字で0〜10を作る」という数遊び、「4つの『5』」で挑戦した。今回は「8」を作るのに苦労した。

0 = (5+5)-(5+5)
1 = (5/5)/(5/5)
2 = (5/5)+(5/5)
3 = (5+5+5)/5
4 = (5*5-5)/5
5 = (5-5)*5+5
6 = (5*5+5)/5
7 = (5+5)/5+5
8 =
9 = (5+5)-(5/5)
10 = (5+5)+(5-5)

　ここまではもう本当にすぐできました。やはり「4つの『4』で0〜10を作る」の「10」で相当苦労させられてましたからね。ところが、「8」ができない。ハッキリ言って諦めてましたね。

　ところが、2週間ほど経過した今日になって閃いた！　5! = 5*4*3*2*1 = 120を15で割れば8。これでどうだ！

8 = 5!/(5+5+5)

　反則かな〜っっ！

　夕方ジョグ。

　今日の札幌は快晴！　気温も高く風もない。ここ数日、関東や関西でも雪が降ったり、北海道も道東は大雪で大変だったみたいだが、札幌は昨日の午前中に雪が降ったくらいでずっと穏やかな天気だった（こういうことはワリとよくある）。歩道の雪も踏み固められていて走り易い状況。

　ところが…、勢い良く飛び出し過ぎたのか、6km過ぎでもうくたびれてきた…！　今日は呼吸を楽しもう！

　今日の北大メインストリート1km（8.8-9.8km）のタイムは…、5分13秒。あぁ、速過ぎだ。どおりでキツいワケだよ…。メインストリートでは、青白く光るランニングシューズ（と言うか、ヒールカップの部分にU字型の光るパーツを装着しているようだった）を履いて走っている女性ランナーを見かけた。あれいいなぁ。製品について訊いてみればよかったか…。

　夕方-2.0℃12.6km1時間10分00秒。累積走行距離37.8km。

　『数学の教科書が言ったこと、言わなかったこと』
　南　みや子（著）
　2014年
　ベレ出版
　★★★☆☆

　高校のベテラン数学教師の筆による、中学校・高校数学を題材とした数学読み物。「数学」そのものと言うより「数学教育」「数学の教科書」についての本なんだろうな、という印象。「わかった後になってみれば、教科書のここがわかりづらい」という内容の本なので、同じ「わかってしまった人」には共感できるだろうが、今現在「わからない人」にはピン！ときづらい本かもしれない。

　「正の数・負の数」「文字式」「方程式」「座標とグラフ」「複素数」「微分・積分」、それに「第0章」と「終章」を加えた全8章構成。それぞれの中心テーマは、「負の数のイメージ」「文字のイメージ」「等式のイメージ」「実数のイメージ」「虚数のイメージ」「極限値のイメージ」といったところだろうか。中高生が疑問を抱きがちなポイントや、そういった疑問につながってしまう「数学概念のイメージ」の（問題のある）もち方、また、数学の教科書が何故そういったイメージを生徒にもたせてしまうような「もの言い」をしているのかを、「自分も数学が苦手だった」と述懐する数学教師の立場から物語っている。「負の数」と言えば中学校数学の第一歩、「複素数」「微分積分」と言えば高校数学のクライマックスでもあるので対象範囲は比較的広いが、ウェイトの多くは中学校数学の初歩的な部分に置かれているように思う。ただ、何と言うか、見かけ以上にジックリ論じている本で、話の展開が遅過ぎて逆に論点が見えづらくなってしまっているキライがあるように思う。

　前著である『「なぜ？どうして？」をとことん考える高校数学』（南みや子（著）　2013年　ベレ出版）を面白く読んだので続けて読んでみた。正直、目次を見ると内容に重複が多そうだし、コンセプト自体がまるで同じもののように見えたので、「二番煎じか！？」と疑っていたのだが、微妙に重点の置き方が変わっていた。前著では、著者自身の高校生時代の（「私はここがわからなかった」というような）想い出話の雰囲気が強かったが、本書では生徒と向き合う一教師としての姿が見えてくる。数学教師の立場から生徒の「わからない」という気持ちに応えようとすると、（致し方ない部分はあるにせよ）「数学の教科書には『伏線』が多過ぎる」というような、教科書のあり方に対する抗議の気持ち、「わからない」生徒を擁護する気持ちが湧いてくるのではないかと思う。

　世代間ギャップに関する記述が多い。「数学の教科書なんて昔からずっと変わってないだろう」と思っていたのだが、どの時代の教科書で学んできたのかによって、躓く箇所が異なるようだ（実際、学習指導要領の変遷を見てみると、「何故ここまで！？」と驚くほど毎回大きく変わっている）。以前の教科書で躓き易かった点を改善するかたちで次の世代の教科書が作られるワケだが、新しい教科書で習った世代は以前の世代が見せなかったような新たな躓き方をするのだそうだ。以前の生徒にとって発想の転換が難しかった点が今の生徒には当然のことで（最初からそう習っているから）、以前の生徒なら疑問にも思わなかった点に関して今の生徒は苦しむ、ということがあるらしい。

　読みようによっては、現行の中学校の数学教科書やそれを用いて行われている（行わざるを得ない）数学教育に対する（かなり過激な）批判になっている。前著『「なぜ？どうして？」をとことん考える高校数学』において著者は、中学校時代には単なる「未知数」であった「文字」が高校に入るといつの間にか「動き出した」（「変数」に扱いが変わっていた）ことに対する戸惑いについて語っていた。現行の中学校の教科書では、生徒がこういったところで躓いたりしないように、中学校1年の最初の段階から文字は「変数」として扱われているのだという（と言うか、現行の中学校の数学教科書は、高校数学で取り組む「解析学の基礎」にスムーズに移行することを大変重視した作りになっているらしい）。ところが、それがかえって文字式における文字というものを全く受け付けられない生徒を生み出してしまっているのではないか、と著者はいぶかしむ。文字に対して最初から「変数」（いろいろな値をとり得るもの）というイメージをもってしまうと、単なる「未知数」である決まった値（動かない値）を求める一次方程式の考え方などがかえってわからなくなってしまうのではないか、と。

　本書を読んでいて、あるプログラミング言語の入門書を思い出した。その本は、「今日からプログラミングを始める」という初心者を対象とした本であるにも関わらず、「決して揚げ足を取られないように、精確の上に精確を期す」「絶対にウソだけは書かない」というようなコンセプトで書かれているようだった。当然それは重箱の隅をつつくような記述になるので、本文は註だらけ、「木を見て森を見ず」とはまさにこのこと、というような非常に読み難いものに仕上がっていた。初心者には「たとえそれが後で問題となるとわかっていたとしても」厳密に言えば少々オカしな説明でそこそこ正しいイメージをもたせる、ということが必要になる場合もある。著者に言わせれば、現行の中学校数学の教科書はこのプログラミング入門に似たようなものになってしまっている、ということなのかもしれない（ウソを書くくらいなら、一切説明しない！）。中学校数学から高校数学へスムーズにつなげていくために、現行の中学校数学の教科書は最初からかなり抽象的であるらしい。ところが、そのことによって、以前よりもむしろ現在の方が、数学の教科書に「門前払い」されてしまう学生が増えているのではないか、と。著者の印象では、「高校に入った途端に数学がわからなくなった」と嘆く高校生は減ってきているらしい。何故なら、既に「中学校に入った途端に数学がわからなくなっ」てしまっているからだ。

　前著もそうであったが、「『実数』という謎」に対する著者自身の強いコダワリが見える。これは、高校生であった著者自身の前に立ちはだかった最大の障壁が「数直線を数（実数）そのものと見なす」（あるいは逆に「数（実数）を直線と見なす」）という考え方を理解することだったこともあるのだが、著者の考えでは、現行の日本の中学校・高校数学教育における「わからなさ」の根本原因は、「実数についての説明を避けたまま、数の概念を実数へ拡張していく」ことにある。そして、数学教師として認めざるを得ないのは、実数について説明することは実際のところ本当に（学問として）難しく、教科書が「実数についての説明を避けたまま、数の概念を実数へ拡張していく」のも致し方ない、ということ。それは単なる「大人の事情」ではなく「数学の事情」でもあるからだ。実数について精確に記述しようとすれば、「無限」と正面から向き合わざるを得なくなる。しかも、単に「向き合う」ことで何とかなるものではなく、「自然数」や「整数」に見られる「無限」と実数に見られる「無限」は違う、という話をしなければならないのだから…、それはまさに「やぶへび」「寝た子を起こすな」ということにならざるを得ない。数学の教科書は実数について簡単に説明することはできないのだ。何故ならそれは本来難しいものだからだ（著者が「実数という謎」について本当に腑に落ちたのは、大学の数学科に進学してからだと言う）。

　本書を貫いているのは、この「事情はわかるけど、でも…」というアンビヴァレントなトーン。「これじゃわからなくなるよ」と生徒を擁護する気持ちと、そう説明せざるを得ない教科書の立場に示す理解の両方が交互に顔をのぞかせるのは、教師を介して生徒と教科書とが出会う場である教育現場に長年身を置いてきた著者自身の（あるときは教科書の代弁者であり、またあるときは生徒の代弁者でもある、という）両義性を映し出しているのだろうと思う。

　最近、小学校算数や中学校数学を扱った本を読んでいて思うのは、「計算のやり方を学ぶのは簡単だ。しかし、数学的な概念を理解するのは難しい」ということ。まさに『星の王子様』、「本当に大切なことは、目には見えない（Le plus important est invisible.）」のだ。ほとんどの中高生にとって数学を学ぶ目的は、せいぜい高校入試・大学入試をクリアすることくらいしかないだろう（将来の夢が定まっていて、そのために必要な数学的な知識やスキルが特定できている、という学生は稀だろう）。しかも、学校の教科書は数学の「学問としての面白さ」を感じさせてくれるものにはなっていない。そこのところが社会人とは違う。（数学者以外の）社会人が数学の勉強をするとしたら、職業上の（具体的に学ぶべき内容を特定できる）必要のためか、あるいは「趣味として楽しむ」ためだ。そういう「大人向け」の数学の本なら驚くほどたくさんある。「大人で良かった」と思う反面、高校数学で挫折して進学先を文系に絞るしかなかった自分の人生を振り返ると、「何とかならんものなのかな」とも思う。

　本文330ページ程度。

※　ちなみに…、「終章」で扱われている「条件付き確率」の問題についてはどうにも納得いかない…。これはもう（著者が想定していない）「教科書の解説が間違っている」例ではないかと思うのだが…。



→　Kota's Book Review

　年が明けたら昨年2015年1年間のジョギング総距離についてまとめようと思っていたのに、3日の走り初め以降何故か走りに出ることが億劫で、ジョギングについてもあまり考えていなかった。そのまま忘れてしまうところだった。

　記録によると、昨年1年間のジョギング累積距離は2061.9km（マラソン大会当日を含む）。尚、9月に参加したウルチャレでは総コース70kmのところを僕は推定55km程度しか走っていないと思われるので、55kmで計算している（そう言えば、ウルチャレの完走記も書いてないな…、って言うか、サロマの「振り返り」をしていない！）。


　6月末の「サロマ湖100kmウルトラマラソン」まで熱心に走っていたのに、大会後に累積走行距離がほとんど伸びていない、というのは例年通り。今年はこのパターンを打破しようと、9月の「札幌〜支笏湖ウルトラチャレンジ70km」にエントリーしたのに、累積距離は横這いのまま。それでも11月末に雪が降ってから、また少し走っているだけまだマシか（しかも、意外と累積距離の折れ線が直線的で、ガタガタも小さい）。


　個別に見ると、ジョギング回数は110回、最長100km、最短10.3km、1回平均18.6km（標準偏差10.9km）を走っている。目立つのはもちろんサロマの100kmとその前の単独60km走、9月のウルチャレ。8月、10月、11月の空白期間が目に付くな〜。

　もっとも、今年は年初から「空白期間」が続いてしまっているのだけど…。

　早朝ジョグ。

　何と、3日の走り初め以来の、16日振りのジョギングになってしまった。

　12月は思った以上に走ったので、「第2回北海道スノーマラソン大会」（2月7日開催　申込みは明々後日22日（金）まで！）の10kmの部にでも参加してみようかな、なんて思っていたのだが…、2km過ぎで既にグロッキー（死語！？）。大雪予報だが今のところまだ十数センチ程度の積雪で、気温も高く風もないが（雪も粉雪が舞ってる程度）、除雪されていない、まだ2〜3人が通った足跡しかないような歩道の上を走るのはキツい。

　5kmを過ぎてようやく調子が出てきた。フと思ったのだが、雪が白いもので本当に良かった。これが血の色だったり、嘔吐物の色だったり、カビの生えたような色だったり、何かが腐ったような色だったら、冬が訪れる度に毎日ウンザリだったろう。雪国の人間にとって雪は基本的に厄介者だが、綺麗だから許す、というところがある。

　今日の北大メインストリート1km（8.8-9.8km）のタイムは…、5分38秒。あら、意外と速い。北大構内の主だったところはそれなりに除雪されていた。

　11km辺りを過ぎて急にくたびれてきた。3週間サボっており、心肺機能も筋肉も落ちてしまったようだ（体重も落ちてきた）。最後は足元も覚束ず、着地の度に足が流れるものだから左足の親指に靴擦れ的な痛み。爪大丈夫かな〜。

　早朝-2.8℃12.6km1時間18分19秒。累積走行距離25.2km。

　『読む数学』（瀬山士郎（著）　2014年　角川学芸出版）では、「マイナスかけるマイナスは何故プラスか？」という問題に関して、「（−1×−1）が（−1）の反数だから」という解答を載せている。

　曰く、

（−1）×（−1）＋（−1）　＝　（−1）×（−1）＋（−1）×1
　　　　　　　　　　　　　　＝　（−1）×｛（−1）＋1｝
　　　　　　　　　　　　　　＝　（−1）×0
　　　　　　　　　　　　　　＝　0
従って、（−1）×（−1）は（−1）の反数であるから、
（−1）×（−1）＝1である。

　要するに、（−1）と足して0になる数が（−1）の反数であり、（−1）×（−1）は（−1）と足して0になるんだから、（−1）の反数（＝1）である、ということ。何て言うんですかね、これは「説明」と言うより「証明」と言うか…。

　でも、これが一番シンプルなんじゃないか、という気がしてきた（笑）。「−（−1）＝1」が全てを言い尽くしているように思うんですよね。

　ある数と足して0になる数がその数の反数である（これが反数の定義）。また、ある数に−1をかけた数がその数の反数である。だから、（−1）の反数は（−（−1））であり、またそれは（1）である。故に（−（−1）＝1）である。

　あ、本当は、この前に「ある数（a）の反数は（−a）ただ1つである」ということの証明があるんだけど。

　考えてみると、『文科系学生のための数学教室』（岡部恒治・有田八州穂・今野和浩（著）　2004年　有斐閣）でも同じ種類の「説明」をしていて、そのときはストンと腑に落ちなかったんだけど、「説明」ではなく「証明」という形をとられてしまうと、どういうワケだか納得してしまった。何でだろ？　「言い回しの妙」のようなものに丸め込まれただけなんだろうか…（僕はワリとそういうものに騙され易いので（笑））。

　瀬山氏の叙述スタイルが気に入ったら、『数をつくる旅5日間』（瀬山士郎（著）　1996年　遊星社）を読んでみるのが面白そうだ。刊行から20年経っているのに古本価格が全く落ちていないということが（むしろ定価よりも高い。絶版になっているので）、この本の価値を表しているのだと思う。