水野の数学参考書レビュー［高校数学・大学入試］

当ブログのアクセス数も、０７年３月２９日で７０万を突破しました。

６０万アクセス突破（１月２３日）から約２ヶ月。サイトの性格上、センター試験前後から３月いっぱいは毎年アクセス数が増えるのですが、この１０万はそれを差し引いても非常に良いペースで来ました。この中からどれぐらい純増につなげられるか、この時期はいろいろなことを考えます。

現在、来年度から原則週刊化となるメルマガの執筆に追われているところです。体調を崩していたのも痛かったのですが、勤務校の年度末の仕事にも手こずり、・・・というのを言い訳にして怠けていたツケが一気に来てしまったような感じです。正直しんどいですが、当サイト・メルマガに対する期待の大きさと受け止め、努力していく所存です。

この時期、学校で指導している者として、非常に楽しみなことがあります。（皆さんの入試結果もそうなのですが、それは除いて・・・）

筆者は特にそうなのですが、来年度用の参考書・問題集の見本が学校に配られてくるので、それを見ることです。今年は、教科書に「発展」内容が加わり（復活？）、学校採用が主である参考書も多くがマイナーチェンジの年に当たっているので、なるべく多くの本を見るように特に心がけています。

最も手をかけているなと感じたのは「ニューアクションβ」（東京書籍）でした。各節の最初の「まとめ」に例がつき、以前から弱点として当レビューでも指摘してきた「自学自習の初学者に不向き」という点に本格的にメスが入った格好になります。

さらに、「β」を含む同社のシリーズ「α」「γ」は統一して従来の章末問題「PERFECT MASTER」を巻末に移動させています。これにより、教科書学習を終えてすぐ取り組むべき問題と余力の範囲で取り組む問題とに線引きをしたことになり、さらに後者では他分野との融合が扱いやすいメリットも生まれました。同じような改編は「フォーカスＵＰ」（啓林館）でも行われていて、まさに「章末問題、異変あり」です。ただ、これは本の内容が本質的に変わったというほどでなく、多くの生徒さんが解く「例題」だけ見れば、ほんの一部が差し替えられたにすぎません。

対抗となる「黄チャート」（数研出版）には旧版からそもそも章末問題というものがなく、節末問題のレベルを「Ａ」「Ｂ」に分けて対応していました。今回は主に解答・解説面での改善が行われていて、受験生のつまずきやすい問題は１つの例題に２ページとって解説しているところがあります（そういう箇所が増えました）。

皆さんからのご質問の多い「青チャート」（数研出版）に関しても、やはり解説面で細かい調整がなされています。ただこちらは旧版の節末・章末問題が全体に重く、筆者の周りでもその部分が使いこなせていない生徒さんが多いという話を聞くので、依然そこに改善の余地は残されているといった印象です。

また、「赤チャート」と「ニューアクションω」はともに今回は改訂されていませんが、これは教科書内容が変わろうとも各出版社が捉えている「受験数学」のレベルは変わらないのだという意見の現れと解釈できそうです。

いろいろ言いましたが、今回は各社の本ともマイナーチェンジだけですから、もし知り合いや古本屋などで旧版が安く（もしくはタダで）手に入るなら「β」も含めてそちらでも十分でしょうね。

講習会も今回が最後。一部予定外の事情もあったりして、息切れしそうになりましたが、何とかここまで来たって感じですね。今回のテーマは「累乗」です。

「累乗」という言葉、指数（かける回数）を右上に小さく書くことまで、今年の生徒さんは本当によく知っています。もちろん小学校の教科書には出てきませんが、累乗を扱った問題は中学入試でもよく出題されているので、塾の授業などで聞いて知っているのでしょう。

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【問】
２を２００７回かけた数の１の位の数字は何になるでしょうか。

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このような問題は本当によく見かけますし、勤務校でも小問としてたまに出しています。生徒さんの反応を見たくて授業の最初にも少しやってもらったのですが、筆算の仕組みから１の位だけに注目してまず周期を見つける・・・と考えるまでもなく、なかば反射的に

＄ ２×２＝４，４×２＝８，８×２＝１６（６），１６×２＝３２（２），・・・
＄ ２００７÷４＝５０１あまり３ ※２０００は４で割り切れるから７÷４でも同じ

という計算をして、ほとんどの生徒さんが「８」という答えを出していました。本当に、塾でそういうトレーニングをしてきたかどうかの確認ぐらいにしかなりません。予想はしていたものの、少々複雑な気分です。

誤解のないように言っておくと、これからの学習において大事なのは、皆さんがこの問題自体を解けるかどうかでなくて、まがりなりにも「累乗」という概念を知る必要性を感じ、勉強してきてくれたということだと思います。中学・高校では、１の位の数字だけでなく、その大きさについても扱うことになります。

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【問】

１枚の紙を折って２枚重ねて「１回」、２枚重ねになった紙を折って４枚重ねにして「２回」、４枚を８枚にして「３回」・・・というふうに何回も紙を折ります。計算上、何回ぐらい折ったら富士山の高さよりも厚く（？）なると思いますか。

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ノーヒントで生徒さんにたずねてみると、案の定「３０００回」「１万回」のようにとてつもなく大きい回数を口にしますが、しばらくいろいろと推測してもらいながら、問題を整理していきます。

たとえば、「１枚の紙の厚さはいくらで考えるのか」ということがあります。数値が与えられないと出来ないという生徒さんもいたのですが、そこで考えをやめてしまうのは良くないと諭しました。今回は、自分の身のまわりにある物を使って測ってほしかったので、あえて言わなかったのです。

定規を持ってきていた生徒さんは何人かいましたが、普通に使われている定規の目盛りは１ミリ刻みなので、工夫が必要になります。手持ちのノート（３０枚重ね）の厚さから求められるという意見が出ました。他に、たとえば５回折って３２枚重ねぐらいにして、その厚さを測ってもよいでしょうね。一応、私の用意していた「答え」も紹介しました。ホームセンターなどでよく売っているコピー用紙の束が５００枚で約５センチの厚さであることから、５センチ÷５００＝０．１ミリ（０．０００１メートル）と分かります。

ということで、問題は、０．１ミリに２を何回かけたら３７７６メートルより大きくなるかという計算をすればよいことになり、事前に表計算ソフトで計算した結果（→ http://green.ap.teacup.com/reviewermizuno/html/fujisan.pdf）から

＊＊＊ ２６回

となりました（ちなみに２７回折ればチョモランマより高くなる）。言われたら納得するのですが、どうしても「富士山」という先入観があるためにこの程度の回数でいけるんだという考えにはたどり着けないようです。

でも、別にコンピュータの力を借りなくても、２０と３０の間ぐらいの回数だということは計算できます。２＾１０（２の１０乗）＝１０２４ぐらいまでは手計算でも出来ますよね。特にこの１０２４という数を知っておくと便利なので、覚えておいて損はありません。つまりは、

＊＊＊ ２を１０回かけるごとに約１０００倍になる

ということです。最初の厚さが０．１ミリ（０．０００１メートル）でしたから、１０回折ると１０センチ（０．１メートル）、さらに１０回折るとその１０００倍で１００メートルになります。もう１０回折ると１００キロ（１０の５乗メートル）ですから、富士山の高さどころかもはや「宇宙」と言ってよい高さになってしまいます。

そこで、２０回（１００メートル）に戻り、今度は手計算で次々に２倍していくと、２の５乗倍で約３２００メートル、６乗倍で約６４００メートル。よって、２６回目で富士山の高さをこえるだろういうことが推測できます。

確かこのネタ、かなり前になりますがテレビでもやっていましたね。

普通の大きさの紙でやっても１０回折れるかどうかなので、大きい紙を何枚もつなぎあわせて折ろうということになります。そこで、グランドいっぱいの大きさの紙が作られました。１回目、２回目の折りはそれこそ人海戦術で、それを繰り返すうちに紙というより布団みたいな形になります。最後にはとうとうショベルカーみたいな車まで登場して、上から紙を押さえるという大仕事になりますが、それでもまだ２０回も折れず、ギブアップです。

まあ、紙が折れるかどうかならお笑いのネタぐらいにしかなりませんが、もっと切実でこわいのは

＊＊＊ 借金

です。利息計算に必要な知識を皆さんが学ぶ中学・高校の数学の区分では、高校の「数学Ｂ」で学ぶ「等比数列とその和」「帰納的定義（漸化式）」が当てはまるのですが、それに関係なく社会生活では大事なことですし、皆さんが思っている「累乗」に対するイメージ以上に急激に増えていくという性質があるので、高校では別途「数学基礎」という科目が設けられて、そこでも扱われています。

・・・それでは、最後にクイズです。

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【問】

２＾１０＝１０２４のような累乗の計算の際、次の「指数法則」が役立ちます。

＄ （ａ＾ｍ）×（ａ＾ｎ）＝ａ＾（ｍ＋ｎ）
＄ （ａ＾ｍ）＾ｎ＝ａ＾（ｍ×ｎ）
＄ ※「＾」は累乗を表す

指数の部分が０より１小さい数「−１」や０より２小さい数「−２」になったとき、累乗をどう決めたら指数法則にしたがうか考えなさい。

また、「√２」は２の何乗と考えたら都合がよいか、同じように考えてみなさい。

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０７年３月４日（日）、当ブログが１９６０ＨＩＴを記録しました。

１日のアクセス数としては新記録になります。２０００の大台まであと少しです。

本業の方がひと息ついた２月、ブログには意識してたくさんの記事を書かせていただくようにしていましたが、新規投稿のみで２７記事。プロフィールや写真のページなどの加筆修正を含めると、手を入れた部分はもっと多くなります。
＃ ほぼ１日１記事のペースで書いていた計算になりますね・・・

今回のアクセス数がその結果かなとも思っておりますが、一過性のもので終わらないよう、ひきつづき力を入れていきたいです。

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メルマガの方も、３月５日（月）配送の最新号が配送数５９９で、もうすぐ６００名を突破する見込みです。０６年４月、スタート時は確か１００部ちょっとの読者数だったと思いますが、当サイト常連の皆さんを中心に支えていただき、何とかここまで来ました。来年度は週刊化を考えていますので、よろしくお願い致します。

毎年この時期（３月）になると、来春受験の生徒さんから年間の学習計画に関するご質問をいただきます。とくに既卒生の皆さんにとっては、予備校などの授業が始まるまでに自分でなるべく頑張ってスタートダッシュをはかりたい時期にあたると思います。そこで、今回は「時節のアドバイス」の一環として、来年度に向けてやっておくべきこと、またその際にどんなことを心がけたらよいか、そのあたりを中心に書いていきたいと思います。

率直に言うと、この時期にやって欲しいのは基礎の見直し。

・・・つまりは「ミニキャンプ」です。

たとえば今春卒業の生徒さんなら、学校の演習授業で使っていたテキストの問題の中で、実はよく分かっていなかったのだけれどそのままにしてしまっていたところが結構あるでしょう？そういう所を、今のうちにやり直しておくのです。もし出来るなら、これをやるのが理想だと思います。

現高２の皆さんに関しても基本的な考え方は同じで、教科書傍用問題集で言えば、まったくの基本は除いて定期試験で差がついたと思われる「少し難しめのところ」を集中的にやり直せばよいのです。

でも、これだけ言って済めば苦労はしないでしょう。個人個人によって、さまざまな事情があると思います。これまでに使った教材がすべて詳しい解答・解説つきで、そのすべてが肌に合うなんてことはまずありません。レベルが高すぎて全く手が出なかったとか、どうしようもない苦手分野が出来てしまったとか。持っている本は分厚すぎるなどの理由でどこから手をつけていいか判断できないという場合もあります。

そういう場合は、やむなくミニキャンプ専用の教材を買い、他の学習と並行しながら進めていくことになります。

※ 以降の内容は、加筆修正ののち「参考書の選び方・使い方」のカテゴリに移しました。

＃ 詳しくはこちら → http://green.ap.teacup.com/reviewermizuno/430.html

　　　

以下では、多くの皆さんが本格的に受験を意識しはじめる冬休みから３学期にかけて、そして既卒生の皆さんにとっては現役時の入試結果を踏まえて新たなスタートを切る３月〜４月の時期などに使って欲しい参考書についてレベル別にまとめていきます。

�@：まず、今まで数学を真面目に勉強しなかったなどの理由で教科書レベルすらまったく身についていないという場合・・・

この場合は、まずは数学１・Ａだけで結構ですから、入試数学ではどういった問題が出されるのか、そのレベルに一刻も早く触れられるようにするということがあります。筆者がよく薦める坂田アキラ先生の著書がありますが、中でも

○「坂田アキラの医療看護系入試数学１・Ａが面白いほどわかる本」（中経出版）
　→ http://green.ap.teacup.com/reviewermizuno/264.html

○「坂田アキラの２次関数が面白いほどわかる本」（中経出版）
　→ http://green.ap.teacup.com/reviewermizuno/9.html

の２つがおすすめ。前者は「医療看護」となっていますが、この時期、中堅までの大学の志望者に広くおすすめしたい本で、１・Ａのみですが教科書レベルの全体的な復習が出来ます。後者は初学者向けではあるがやや到達点の高い本で、１つの分野だけですが教科書レベルからセンターレベルの入口ぐらいまで、一気に学習できるはずです。なぜこの分野かというと、それはセンターで必出であり、かつ他分野との融合問題になりやすいところだからです。

�A：学校の中間・期末試験の問題までは何とかなったが、少し難しい問題になるとまったく手が出ないという場合・・・

このレベルで伸び悩んでいる生徒さんは意外に多いですね。そういう人は、今まで何となく解き方を覚えるだけで済ませてきた問題を見直し、頭の中を整理しましょう。いろいろな本がありますが、自学自習ということを考えると、分量的にもレベル的にも欲張ってほしくないので

○「ここからがわからない 入試基礎数学１・Ａ（／２・Ｂ）４０題」（旺文社）
　→ http://green.ap.teacup.com/reviewermizuno/290.html

あたりをおすすめします。既卒生、一貫校の生徒さんで数学３・Ｃをすでに学んだ人も同じレベルを固めることを考えてほしいのですが、いきなり本格的な入試問題に取り組むのは難しいでしょうから、まずは計算力をつけるということで、

○「カルキュール［計算力・基礎力アップ問題集］」
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　数学３・Ｃ（駿台文庫）
　→ http://green.ap.teacup.com/reviewermizuno/45.html

などが選択肢に入ってくるでしょう。あとは苦手対策です。前述の坂田アキラ先生の著書も使えますが、それ以外に

○「ホントはやさしい」シリーズ（文英堂）
　→ http://green.ap.teacup.com/reviewermizuno/105.html

という本もあります。こちらの方が例題中心でコンパクトにまとまっているので、ザーッと問題を解いていくならこちらがよいでしょう。

�B：入試の基礎のレベルまで網羅でき、標準レベルに入る準備ができている場合・・・

さて、もう少しレベルが上がれば、センター対策本などで力だめしをしたり、発展事項を中心により深い学習をしたり、いろいろなことができます。以前にどなたかにおすすめしましたが、たとえば

○「ズバリ攻略！センター試験」１・Ａ／２・Ｂ（桐原書店）
　→ http://green.ap.teacup.com/reviewermizuno/78.html

○「理系数学 入試の核心」標準編（Ｚ会出版）
　→ http://green.ap.teacup.com/reviewermizuno/141.html

○「奥平禎の理系数学頻出５０テーマ［１・Ａ・２・Ｂ］を
　　　　　　　　　　　　　　　　　　攻略する本」（中経出版）
　→ http://green.ap.teacup.com/reviewermizuno/394.html

などから、分量的にそんなに多くなくて、かつ自分の肌に合うものを選んで使っていきます。ただ注意して欲しいのは、今回の意図はあくまで「基礎の見直し」であるということ。すぐ解ける問題も３割ぐらいは含まれている本の方が、より余裕を持って各問題に取り組むことができ、結果的に１つの問題から得るものも多くなると思います。

他にもいろいろ選択肢はありますが、今回あげた本を参考に、皆さんで自分自身のベストの教材を探してみてはどうでしょう。

　　　

講習会４回目。

・・・うーん、珍しい算数の問題を解説するのが、ここにきて快感（！）に変わってきています。良い傾向なのか悪い傾向なのか。

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【問】
１からａまでの整数（自然数）の積をａの階乗といい、「ａ！」で表します。次の式の空所にあてはまる数を答えなさい。

　　（１／１７！）−（１／１８！）＝（１／１８！）×［　　　］

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※動画（YouTube）もあります：ＰＣからご覧ください！



・・・これで十分というかたもいらっしゃるでしょうが、黒板が少々見えづらいので、一応しゃべった内容を書いておきますね！

皆さんには、いちおう前回の授業（→ http://green.ap.teacup.com/reviewermizuno/423.html）の前フリで「階乗」について少しお話をしていますが、あの話を聞いたからどんな計算でも出来てくれというのはやはりムチャなので、この問題を解く前に少しヒントを出そうと思います。

ええと、こんな問題なら暗算でできるでしょう？？

＊＊＊ （１／４）−（１／２０）＝［　　　］

答えは「１／５」です。なぜすぐ解けるかというと、分数の引き算でいつもやっていること・・・そう「通分」ですね、通分が簡単にできるからなんです。２０＝４×５だから、左の分数の分母と分子に５をかけて同じ分母にしてやれば、分子は５−１で、４／２０になるから約分すると１／５になるというわけ。

・・・これを踏まえて、先ほどの問題に戻ります。「階乗」なんてややこしい記号がついていますけど、実際に書き出してみたら、

＄ １７！＝１×２×・・・×１７
＄ １８！＝１×２×・・・×１７×１８

というふうに、最後の「×１８」の部分しか違わないでしょ。だから、１７！に１８をかけて分母をそろえてやると、分子は１８−１になって、空所に入る数は「１７」。・・・分かりましたか？？

この「階乗」も含めて、皆さんはこれから数学を勉強する中で、いろいろな記号を目にすることがあります。でも、そこで「うわっ！記号だ！」ってビックリしないで欲しいんです。問題文をよく読んで、その記号が何を表しているか、ちょっと具体的に書いてみたら、意外とすぐ問題の解き方が見えてきたりするんですよね。



このあと、昨年と同じく「コピー用紙のサイズの秘密」について話しました。今年は生徒さんにテキストを配っていて、そちらにも似た話題が載っていたのですが、こちらは実際にやろうとすると三平方バリバリになってしまうので、今回は（今回も）

＊＊＊ 「√２」という数がこんな所に隠れているんだよ！

・・・という部分を見せることに重点を置いています。



＃ 詳しい内容はこちら（昨年度分のブログ記事）をご参照ください
＃ → http://green.ap.teacup.com/reviewermizuno/160.html