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『ねえ、今日から算数パズルやらない?』【解答編2】
発行者:水野 健太郎
http://green.ap.teacup.com/reviewermizuno/
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・・・と思われるかたもいらっしゃると思います。
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・・・さて、いよいよ中級問題を解説します♪
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問題(中級)の解答・解説
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あなたは、お友達に、1から105までの整数のどれかを
思い浮かべてもらうことにします。それをXとします。
そして、Xを3で割ったあまりA、Xを5で割ったあまりB、
Xを7で割ったあまりをCを、それぞれ教えてもらいます。
あなたは、こうして得られたA,B,Cから、
もとのXを求めたいと思います。
もちろん、しらみつぶしに調べればいつかは分かりますが、
ある式に当てはめて計算すれば、簡単にXを求められるんです。
・・・そんな方法ってあるんでしょうか?考えてみてください。
→→→→→[参考]
実はこの問題は、はるか昔に中国から日本に伝来し、
「百五減算」などの名前で知られているものです。
今の時代ですから、おそらく何人かの読者の皆さんは
インターネットで調べて答えにたどり着いたと思います♪
もちろん、ここではなるべく予備知識なしで考えてみます。
→→→→→[解答・解説]
まず、割り算とあまりについて、少し見直してみます。
$ 31÷3=10あまり1 → 31=3×10+1
わる数と商・あまりが与えられたとき、
わられる数は上のような計算で求めることができますが、
$ 31=3×10+1 → 31+15=3×10+1+3×5
$ =3×15+1
・・・のように、わられる数にわる数(上では3)の倍数を
たしても、あまりは1のままで変化しません。
そこで、Xを次のように・・・
$ X=(3の倍数でないもの)+(3の倍数)
$ ↑ここを3で割ったあまりがA
3の倍数でないものと3の倍数とに分けてしまって、
3の倍数でない部分をうまくAの式で表してやれば、
BとCが何であっても3でわったあまりはAになるはずです♪
同じことがBとCについてもいえるので、
(・・・ここが実は難しかったと思いますが)
$ X=(5と7の倍数だが3の倍数でないもの) ←Aの式
$ +(3と7の倍数だが5の倍数でないもの)←Bの式
$ +(3と5の倍数だが7の倍数でないもの)←Cの式
・・・のようにXを分け、順番にAの式、Bの式、Cの式で
表すことができたら・・・と考えてください。
例えば、Xを5で割ると、Aの式とCの式が(まだ実際に
作っていませんが、作ろうとしているのは)5の倍数ですから、
ここからは5で割ったあまりが出てくることなく、残った
Bの式の部分から5のあまりが出てくる(・・・ように
したい!という話なんですけどね)とわかりますか?
そうしたら、次は3つの式を作って、3,5,7で割った
あまりが本当にそれぞれA,B,Cになればよいわけです。
まず、「5と7の倍数だが3の倍数でないもの」を考えます。
「5でも7でも割り切れる」と言われたら、おそらく
5と7をかけた35が真っ先に思い浮かぶでしょう?
あと、その倍数なら何でもいいので・・・
$ 35=3×11+2 ←これを使ってもよいが・・・
$ 70=3×23+1 ←実はこちらが使いやすい!
というふうに計算していくと、70が見つかります。
Aは3で割ったあまりだから0,1,2のいずれかで
あることに注意して、70にAをかけてみると、
$ 70×A=3×23×A+1×A
$ =3×(23×A)+A ←商は23×Aになる
となり、70×Aを3で割ったあまりはちゃんとAになります♪
Bの式とCの式についても、同じように考えてみてください。
すると、・・・
$ 3×7=21=5×4+1
$ 3×5=15=7×2+1
のように、3,5,7のうち1つの数で割ったあまりが1で、
他の2つの数の倍数である数を、見つけることができます。
したがって、
$ X=70×A+21×B+15×C
という式をつくり、ここにA,B,Cを入れると、
与えられたA,B,Cの条件をみたすXが1つ作れます。
ここまで来たら、もうひと息です。
・・・えっ?何が「もうひと息」なのかって??
それは、実際にA,B,Cに何か数を入れて計算してみたら
わかると思うのですが、本当にこの式だけだと、
Xは105以上の数になることもありえるわけです。
とくに、Aに2なんか入れてしまったら、
それだけでXは140以上の整数になってしまうでしょう?
しかし、心配することはありません。
・・・3×5×7=105という数があります。
105は3と5と7の倍数ですから、Xに105をたしたり、
Xから105を引いたりしてもA,B,Cはそのままですね。
そこで、最後にXから105を何回かひいて、
Xが実際に105以下になるようにしてやればいいんです!
それには、上の式にA,B,Cを入れて得られた(仮の)Xを、
105で割ったあまりを求めたらよいですね。
・・・ええ、だから「百五減算」っていうんですよ♪
ともかく、こうして、百五減算の答えとして知られている
$ Xは70×A+21×B+15×Cを105で割ったあまり
という答えに、ようやくたどり着くことが出来ました。
ただし、お友達がA,B,Cをすべて0と言ったときだけは、
例外的に105を答えにすることにすれば、問題に合います。
・・・ちゃんとついて来られましたか??おつかれさまでした!
筆者は、このやり方を世界で初めて考えたという人に、
会いたくて会いたくて仕方がありません。
一体、どういう頭脳の持ち主だったのでしょうね(笑)
さて・・・
→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→
問題(上級)を、もう1度考えてみましょう!
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9つの連続した自然数(1以上の整数)の組を考えます。
例えば「1,2,3,4,5,6,7,8,9」の組は、
小さい方から順に1でわりきれる数、2でわりきれる数、
3でわりきれる数、4でわりきれる数、5でわりきれる数、
6でわりきれる数、7でわりきれる数、8でわりきれる数、
9でわりきれる数のように並んでいます。
では、同じ条件をみたす組のうち、1の次に小さい数から
始まるものは、一体どんな組でしょうか?
→→→→→[ヒント]
問題文がややそっけなく書かれているので、ポイントが
つかみづらいのですが、そこさえクリアしてしまえば、
今までに解説した内容の応用で解決できるようです。
「1から9」ばかりに目を奪われず、少しだけ「まわり」に
目を向けてみてください。きっと正解にたどり着きます!
※この問題の解答は、メールにて受け付けております!
正解は次号【フィードバック編】にてお届けいたします。