水野の数学参考書レビュー［高校数学・大学入試］

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　　　　　『ねえ、今日から算数パズルやらない？』【解答編２】

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　発行者：水野 健太郎
　　　　http://green.ap.teacup.com/reviewermizuno/
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　・・・さて、いよいよ中級問題を解説します♪

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　問題（中級）の解答・解説
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　３２チームで総当たりリーグ戦を行うのは大変なので、
　勝ち残りトーナメント方式に少し手を加えた以下のような方式で
　１位から３２位までの順位をつけることを考えます。

　準決勝で負けたチームどうしで、３位決定戦をします。
　同じように、準々決勝で負けた４チームの間では
　準決勝・決勝・３位決定戦と同様に５位〜８位決定戦をします。
　さらに９位以下についても、１回戦で負けたチームまで含めて
　同様の方法で試合を行い、１位から３２位までの順位をつけます。

　この場合、全部で試合数はいくつになるでしょう？

→→→→→［解答・解説］

　とりあえず、問題文のとおりに考えていきます。

　まず、１位〜４位は、通常の勝ち残りトーナメントの３試合
　（１位を決めるために３チームを敗退させる）に加えて
　３位決定戦を行いますから、計４試合で決めることになります。

　その前に、ベスト８が戦う準々決勝が４試合行われ、その試合に
　負けた４チームによって５位〜８位決定戦が行われますが、
　その試合数は１位〜４位決定戦と同じ４試合になります。
　まとめると、ベスト８の順位１位〜８位を決めるのに要する
　試合数は、ベスト８が戦う準々決勝が４試合、準々決勝に
　勝ったチームのための試合が４試合、負けたチームのための
　試合が４試合で、計１２試合あることになりますね♪

　さて、ここからが難しくなるのですが、同じ考え方を
　さらに進めていくと、一体どうなるでしょう？

　先ほど考えたように、１位〜８位を決めるのに要する試合数は
　１２試合だから、同じ８チーム間であれば、９位〜１６位でも
　要する試合数は１位〜８位と同じく１２試合なんです。
　そして、その前に、１６チームを１位〜８位のブロックと
　９位〜１６位のブロックの２つに分ける試合が、３２チームの
　トーナメントであればいわゆる「２回戦」ですから、８試合。
　これらを合計すれば、１位〜１６位を決めるのに要する
　試合数は１２＋１２＋８＝３２試合とわかります。

　１回戦が１６試合あることに注意して、あと１段階これと同じ
　ように計算をすれば、全部の試合数は８０試合とわかります。


　・・・うーん、確かに答えには辿り着きましたが、特に最後の
　あたりが少々面倒です・・・何とか整理できないでしょうか？

　そこで、次の［別解］を紹介することにします。

→→→→→［別解］

　まず、決勝まで残るチームが何試合するか考えておきます。
　１回戦で３２チームが３２÷２＝１６チーム、２回戦では
　１６÷２＝８チームになり、以下準々決勝、準決勝、決勝が
　行われてチームはどんどん半分ずつに減っていきますから、
　決勝まで残るチームは５試合を戦うことになります。

　さて、問題のような方式で順位を決めることにすると、
　上位２チームは決勝に進みますが、準決勝に負けた２チームにも
　３位決定戦がありますから、準決勝に負けたチームも決勝まで
　進んだチームと同じ５試合を戦うことになるはずです。

　同じことが、準々決勝以前の段階についてもいえます。
　準々決勝に負けたチームも、結局準々決勝に勝ったチームと
　同じ試合数を戦いますし、２回戦に負けたチームも、
　１回戦に負けたチームも、みな同じ５試合ずつを戦うわけです。

　結局、１回戦は全部で１６試合ありますが、１回戦に勝った
　チームが戦う通常の２回戦８試合、それに加えて、１回戦に
　負けたチームが戦う１７位〜３２位決定戦の２回戦も８試合
　あるわけだから、「２試合目」も合計１６試合あります。
　準々決勝を含む「３試合目」、それ以降の「４試合目」と
　「５試合目」も先ほどと同じように考えればよいから、
　試合数は全部で１６×５＝８０試合となります。

→→→→→［参考］

　実はこの試合方式は「スイス式トーナメント」と呼ばれていて、
　将棋やチェス、カードゲーム等の大会で広く採用されています。
　参加チームが多くて総当たりリーグ戦を行うのが現実的でない
　ケースであっても、すべての参加チームがすべて同じ試合数を
　戦うことができますし、常に同じ勝ち数どうしのチームが戦う
　ことになるので、実力がある程度近いチームどうしで戦う
　ことが多くなって、面白い試合が多くなるメリットもあります♪

　・・・とはいえ、この問題そのままの順位の付け方をすると、
　いきなり強いチームと当たってしまったところの順位がガクッと
　下がってしまうので、試合が終わったあと、各チームの成績を
　ポイントに換算してから順位をつけることが多いようです。
　強いチームに負けたところや強いチームを破ったところに
　ボーナス点がつくようにポイントを加味し、それらを総合して
　順位を決めるようですが、いろいろな計算方式があるようです。
　もちろん、ポイントの計算方法は事前に明かしておきます。

　今の時代、興味さえあれば大抵のことはすぐに調べられます。
　筆者もウィキペディアでこの「スイス式トーナメント」を
　調べてみたのですが、一体誰が書いたのやら、すごく詳しく
　書かれていて、正直びっくりしました・・・。
　問題を解くとき、ただ答えに辿り着いて終わりではなく、
　それを通じて興味を持ったことについても都度つど調べながら
　やっていくと、本当にいろいろな知識が身につきますよ♪


　次号は【フィードバック編】です。・・・お楽しみに！

※こちら（→http://green.ap.teacup.com/reviewermizuno/1212.html）とあわせてお読みください！
　例によって、都合により後日執筆していますが記事日付は当日のものです。

１１月２３日。いよいよ今回の旅のメイン、大井川鉄道のＳＬとアプト式鉄道に乗ります・・・と言っても、実は私は２度目なんですけどね（汗）



前回のツアー（→http://green.ap.teacup.com/reviewermizuno/770.html）は新幹線とＪＲを乗り継いで金谷駅まで来て直接ＳＬに乗り換えましたが、今回はバスの駐車場のある新金谷駅からの乗車。こちらの方が駅前は広々していて、プラザ・ロコという資料館のようなお土産屋のような待合室の（以下略）ところでひと息つきながら、ＳＬの到着を待ちます。写真は外国から輸入されたミニＳＬ。



・・・とだけ言うと、のどかな印象を与えますが、この日の新金谷駅はまさに戦場。我々を含め何団体もＳＬに乗車するため、旅行社別に分かれた号車の順に改札を通して奥から詰めさせるという念の入りようだったんですよ（！！）





・・・こんな写真こそ「前回とどこが違うんじゃ？」・・・とツッコミが入りそうですが、よく見比べてください（←いつも思うけど誰に言ってるんだろう？）。同じ機関車（Ｃ５６の４４番という車両）だけれど、前回は少々みすぼらしかったのが、今回は少し塗装されて、かなりマシな外見になってるでしょ？実は、この機関車は、前回来たときは大修繕の直後だったのですが、あれから前面には戦前に付けていたような日本の車番のプレートがつき、タイ国鉄時代のカラーとのコラボ機関車になっていました。ただ、「ＳＬと言えば真っ黒いもの」という固定観念の持ち主である私には、このＳＬはカッコイイのか悪いのかわかりません。この違和感、昔の特撮ヒーロー「キカイダー」を思い出してしまいます（苦笑）

あと、ＳＬの車内でしか買えないおもちゃ・おみやげは特に子どもに大人気で、ＳＬの汽笛の音がする笛なんかをあっちの席の子が買うと、負けじとこっちの席の子も買うという、すさまじい戦い（！）がくり広げられていました。しかも、こっちの席の子には年の近い兄弟がいるそうで、帰ったあと兄弟の分がないと喧嘩になるとかで、祖父母さんはどのお土産も２個ずつ買っていらっしゃいました・・・恐れ入ります。





ＳＬの終点から、今度はトロッコ列車に乗り換え。ダム湖の中央にある奥大井湖上駅を目指します。・・・こちらはそれこそ似た写真を載せても本当に「間違い探しクイズ」にしかならないので（笑）、写真は機関車を連結するところと列車が登っていく急坂にしてみました。



今回は、ムービーデジカメ・ザクティで動画も撮りまくり。少ない充電をフルに使い切って予備の電池にパパッと入れ替え（汗）、その後のウォークでも気に入った風景を適宜カメラに収めつつバスとの待ち合わせ場所に戻りました。

あとは帰るだけ・・・通常ならそうなのですが、今日は連休最終日。帰りもこれまたありえない渋滞に、

＊＊＊「えっ？岡崎まで２時間以上？」「京滋バイパスごときが何故こんなに混む？」

・・・などとさんざん毒づきながらの大阪への道のりでした。この手のバスツアーで、帰りの車内ではビデオを流してくれるのですが、今回は「やすきよ漫才」に加えて「釣りバカ日誌」を１作まるまる、さらに「綾小路きみまろ」まで満喫（？）させられてしまいました。通常より休憩も多くとらねばならず、止まるごとに満杯の駐車場を横切ってトイレを探し、ついでに軽食も探しながら時間を気にしてバスに戻りの繰り返しで、わずかに残ったエネルギーも使い果たした感じです（大げさ？）。ようやく家に帰り着いたのは日付が変わる直前でした。

　　

※こちら（→http://green.ap.teacup.com/reviewermizuno/1213.html）とあわせてお読みください！
　例によって、都合により後日執筆していますが記事日付は当日のものです。

紅葉の季節、しかも連休です（ちなみに私の職場は土曜日が休みでないため、連休といえば日→月か、担当授業のない日がらみになります）。そこに１人でも参加できるツアーとあらば、行くしかありません。今回は特に気合いを入れ、休み後の仕事の準備を前もってやり越しておき、なおかつ

＊＊＊ ヨドバシカメラでムービーデジカメ「ザクティ」を購入

するという、まさに盤石の（？）態勢で臨みました（苦笑）

実は私、昨年の４月にも同じようなツアーに参加しているのですが（→http://green.ap.teacup.com/reviewermizuno/770.html／http://green.ap.teacup.com/reviewermizuno/771.html）、もともと鉄道は嫌いではないのと、前回の添乗員さんが「大井川鉄道のベストシーズンは、やはり紅葉の頃ですよ」と薦めてくださって以来ずっと気になってはいたので、今回旅のカタログで大々的に募集しているのを目にし、早速応募したのでした。

今回の予定では、メインの大井川鉄道は明日。まずは愛知県は豊田市、小原（おばら）というところにやってきました。





・・・秋なのに桜が咲き、紅葉と共存しています。その名も「小原の四季桜」。ちょっとありえない光景です。後ろの公園では、１１月じゅうお祭りをやっていて、地元からも我々を含め県外からもたくさんの人が来ていました。



ただ、おかげでここに着くまでにたいそう時間がかかり、かねて注文してバスに積み込んでもらっていた焼きサバ寿司がなければ空腹で倒れるところでした（苦笑）

気を取り直して、次の目的地は香嵐渓（こうらんけい）という紅葉の名所。こちらの方が有名らしいです。が、有名ということは・・・そう、またもや大渋滞に巻き込まれるということ（涙）





着くのがかなり遅くなったうえ、小雨がパラつき薄暗いあいにくのコンディションでしたが、バスを降りてからはそんなに歩かされることもなく、川のあちらとこちらから紅葉をしっかり見てきました（！）。

添乗員さんもおっしゃっていましたが、今年は紅葉の当たり年だそうで、１つの木の中で葉っぱが様々に色づいてグラデーションになっているものは特にきれいでした。

紅葉といえばやはり楓（かえで）ですが、楓の葉っぱは「枯れて」赤くなるのではなく、光が当たって別の色素が活性化することにより赤くなるので、１つの木の中でも、光がよく当たる上の部分が赤く、中間は黄色く、そして他の葉っぱに隠れて光の当たらない部分は緑色のままです・・・少し分かりにくいですが、写真では手前側にある木が、まさにそうなっていますね。



そんなこんなで、結局予定より３時間ほど遅れてホテルに到着。疲れでせっかくのバイキングの食事も何だか胃にもたれる感じでしたが、唯一ポイント高かったのがホテルのルームキー。キーホルダーの長いものと短いものの２本が（もともとは２人で１本ずつ持てるようにだと思いますが）用意されていて、私は１人ですから当然、ポケットに入れやすい「短いほう」を使わせていただきました。

　　

１１月もなかばを過ぎました。

入試が始まっている大学もあり、受験生の皆さんは、そろそろ本格的に入試日程を考慮に入れた学習にシフトしていると思いますが、苦手対策など、自分のペースを崩さずにあと少し続けていかなければならない部分もあります。双方のバランスをうまくとりながら、やっていきましょう。

参考書の新刊も、そろそろひと息ついてきたようです。これからの時期は、センター試験の予想問題集であるとか、（有名大学のものはすでに出ていますが）大学別の過去問集であるとか、いわゆる定番が書店に並んでくるでしょう。



　

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　　　　　『ねえ、今日から算数パズルやらない？』【解答編１】

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　発行者：水野 健太郎
　　　　http://green.ap.teacup.com/reviewermizuno/
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　それでは、初級問題を解説します♪
　どんな問題だったか、思い出してみてください！

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　問題（初級）の解答・解説
←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←

　プロ野球のペナントレースやサッカーＪリーグのように、
　３２チームで１対１の総当たりリーグ戦を行います。
　同じ組み合わせの試合を１試合ずつとした場合、全部で
　試合数はいくつになるでしょう？

→→→→→［解答・解説］

　いろいろな考え方がありますが、まずは単純作業で
　数え上げながら規則性を考えていくやり方を紹介します。

　３２チームを、イ，ロ，ハ，ニ，ホ，ヘ，ト・・・とします。

＃ アルファベットでＡ，Ｂ，・・・としてもよかったのですが、
＃ これだと２６チームでＺまで使い切ってしまうので（苦笑）

　まずイに注目すると、イ対ロ、イ対ハ、イ対ニ・・・という
　ふうに、イは残り３１チームすべてと３１試合を戦います。

　そして次にロに注目すると、ロも残り３１チームすべてと
　戦うのですが、ロ対イはすでに「イ対ロ」のところで
　数え終わっており、今回は先攻・後攻やホーム・アウェイの
　ような区別はせずに考えるので、あと数えていない試合だけを
　数えることにすると、ロ対ニ，ロ対ホ，・・・の３０試合です。

　同じように、次にハに注目すると、ハが出てくる中でまだ
　数えていない試合は「ハ対イ」と「ハ対ロ」を除く２９試合、
　次にニに注目すると残りは２８試合・・・となっていきます。
　こういうふうに数え上げていくと、最後の最後には
　３１チーム目と３２チーム目が戦う１試合が残るはずです♪

　これらをすべて加えてやると、全部で試合は

＄ ３１＋３０＋２９＋・・・＋２＋１＝４９６（試合）

　あることがわかります。

→→→→→［別解］

　確かにこれでもいいのですが、もっと楽に考えられる
　方法があったらいいと思いませんか？・・・実はあります♪

　これは「たとえ話」ですが、各チーム、試合が始まる前に

＊＊＊ 円陣を組んで「頑張るぞ、オー！」と叫ぶ

　よう、ナントカ協会に義務づけられたことにしましょう（笑）
　すると、各チームとも他のすべてのチームと戦う前に
　１回ずつ円陣を組むことになりますから、結局どのチームも
　３１回ずつ円陣を組むわけです。

　・・・ということは、たとえば全チームの全円陣を録画して
　つなぎ合わせたビデオを作ったとすれば、そのビデオには
　円陣を組んで「頑張るぞ、オー！」叫んでいる光景が

＄ ３２×３１＝９９２（回）

　映っていることになります♪
　（たとえ話なので「誰のためのビデオだ？」とは言わないこと）

→→→→→［注意］

　ここで「あ、そうか！試合は全部で９９２試合だ」と早合点
　してしまう人がいると思うのですが、注意が必要です！

　・・・試合前の光景を、よく考えてみてください。

　これから戦うのは２チーム。その２チームは別々に円陣を組み、
　それぞれに「頑張るぞ、オー！」と叫んでいるはずですよね？
　・・・そう、１試合あたり、円陣は２つ組まれるのですよ♪

　今回のような「数え上げ」の問題を単純化して考えるときは
　数えるものを何と対応づけて数えようとしているのか、
　とくに順番などに関する区別があるかないか、よく確認して
　式をつくり、計算するようにしなくてはいけません。

→→→→→［別解の続き］

　ここで、１試合あたり円陣は２つずつ組まれるから、
　試合は全部で

＄ ９９２÷２＝４９６（試合）

　行われるとわかります。

→→→→→［参考］

　今の［別解］の考え方を発展させていくと、高校数学の
　教科書に載っている組み合わせ（コンビネーション）の
　総数を求める「Ｃ」という公式に行きつきます。
　中学受験の算数でも、使うと計算が楽になるという理由で
　教わった人（教えている人）もきっと多いと思います。

　今回求める「３２チームから２チームを選ぶ組み合わせ」を
　Ｃの公式で書くと、以下のようになります。

＄ ３２Ｃ２＝（３２×３１）／（２×１）＝４９６

　ちなみに、Ｃの両端の２つの数は小さい数字で書きます。
　中学生以下の皆さんも、あといくつか例をあげれば、
　どんな公式か分かっていただけると思います。

＄ ６Ｃ２＝（６×５）／（２×１）＝１５
＄ ７Ｃ３＝（７×６×５）／（３×２×１）＝３５
＄ ７Ｃ４＝（７×６×５×４）／（４×３×２×１）＝３５

　このうち、７Ｃ３と７Ｃ４は同じ結果になっていますが、
　たとえば「７人から３人のレギュラーを選ぶ組み合わせ」は
　「７人から、レギュラーから漏れる４人を選ぶ組み合わせ」と
　考えることもできるから、言われれば当たり前のことですね♪
　一般に「ｎＣｒ＝ｎＣ（ｎ−ｒ）」が成り立ちますが、
　この性質もよく使いますから、ぜひ覚えておきましょう。


→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→
　問題（中級）のヒント
←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←

　３２チームで総当たりリーグ戦を行うのは大変なので、
　勝ち残りトーナメント方式に少し手を加えた以下のような方式で
　１位から３２位までの順位をつけることを考えます。

　準決勝で負けたチームどうしで、３位決定戦をします。
　同じように、準々決勝で負けた４チームの間では
　準決勝・決勝・３位決定戦と同様に５位〜８位決定戦をします。
　さらに９位以下についても、１回戦で負けたチームまで含めて
　同様の方法で試合を行い、１位から３２位までの順位をつけます。

　この場合、全部で試合数はいくつになるでしょう？

→→→→→［ヒント］

　３２チームで、通常のトーナメント表を書くと、
　決勝まで勝ち上がるチームが何試合を戦うか分かるはず。
　問題はその次なのですが、３位決定戦を行うことにすれば、
　ベスト４までに入れば、もし準決勝で負けても決勝まで
　勝ち上がるチームと同じ試合数を戦うことがわかりますか？

　同じように、５位〜８位、９位〜１６位、
　１７位〜３２位についても考えることができます。


※この問題は、１１月２８日（土）配送分にて解説します。

タイトルは疑問だが、解説は親切な分野別センター過去問集

「センター試験 よく出る過去問トレーニング」数学�T・Ａ／�U・Ｂ（中経出版）

分野別の過去問を中心に、基礎になる問題と予想問題を加えた頻出問題集。重要な解法を丁寧に解説しているが、教科書の基本事項の導入・まとめに重点が置かれてはいないので、他書で導入してから使うという位置づけ。同じ出版社であれば志田晶先生の本からの接続を意識しているはず。

著者は、この出版社からの著書の多い代ゼミの佐々木隆宏先生。センター数学の攻略法を言葉を尽くして伝えつつ、かなり難しい内容にも触れていて、幅広い層へアプローチする予備校の授業ノウハウの賜物・・・とも言えるが、個人的にはターゲット層を（書籍なのだから）もう少し絞っても良かったのではとも思う。

さて、帯（おび）には「２０１０年センター試験から過去問解禁！！」と強調されていて、確かにこの本に載っている問題がそのまま来年度以降のセンター試験に出る可能性もあるわけだが、今は０９年であくまで来年が解禁１年目。なのに「よく出る過去問」というタイトルは正直どうだろうか？

　

※０９年１１月１１日執筆分に「数学�U・Ｂ」版へのアマゾンリンクを追加

知っていると得する（かも知れない）解法がてんこもりの演習書

「センター試験 要点はココだ！数学�T・Ａ・�U・Ｂ」（中経出版）

計算のテクニックや少し変わった裏ワザ的解法をメインに扱ったセンター対策向けの演習書。ある程度の基本は身につけ、センターの過去問を正統的な解法でならある程度解き進めていける人が、さらに解答時間を節約したいと思ったときに選択肢に入れるべき本である。

前半の「テクニック編」５５テーマでは、正弦定理・余弦定理を使う代わりに補助線を入れてよく知っている三角形に分ける、３次関数のグラフの性質（対称性ほか）など、知っていると得する（かもしれない）解法・事項を「スゴ技」として扱っている。筆者も授業でよく触れたりするものが多いが、試験本番で使うことを思いつくかどうかあやしいものなど、好みはあるだろう。自分の気に入った解法に絞ってマスターすること。そのあと「演習偏」３０題ではセンターの過去問を扱っている。内容的には、大問１つまるごととおぼしきものと、単問に区切ったものが半々という感じ。当然、解答中で「スゴ技」を使っているところも強調されている。

本のタイトルとのギャップはやや問題ありかも知れない。「要点」はココだと言っていて、テーマ１は次数下げだからまだいいようなものの、テーマ２の絶対値の扱いでいきなり普遍的でない（いつでもそのような式変形ができるわけではない）テクニックを持ち出されると、少々面食らってしまう。

著者は代ゼミの土田竜馬先生。中経出版からは「土田竜馬のいっきにわかる数学３」という演習書（例題集のような感じの本）を出されているので、この本のような、あくまで正統的な解法をメインとした「要点集」・・・たとえば「この問題は、誘導のこの部分に注意しろ」というような内容を思い浮かべた人（筆者を含む）には、やや期待外れの感もある。

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　　　　　『ねえ、今日から算数パズルやらない？』【問題編】

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　発行者：水野 健太郎
　　　　http://green.ap.teacup.com/reviewermizuno/
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　前回の問題掲載に味をしめてくださったのか、
　こうたさんが、またまた問題のアイデアをくださいました♪
　たまたま筆者も知っているテーマでしたので、
　例によってこうたさんの問題を「中級問題」とし、
　こちらで例題・初級問題を追加して出題することにします。

　・・・ということで、今回は「試合数の問題」です。

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　例題
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　高校野球のような１対１の勝ち抜きトーナメントで、
　５０チームが出場するとすると、優勝が決まるまでの試合数は
　一体いくつになるでしょうか？

→→→→→［例題の解答・解説］

　決勝戦が１試合、準決勝が２試合、準々決勝が４試合。
　よく準々決勝に残ることを「ベスト８に入る」と言います。
　その下にベスト１６が戦う試合が組まれるわけですが、
　夏の甲子園では、これが「３回戦」にあたります。

　このさらに下、２回戦までは試合数は２倍、２倍に増えて
　いきますが、確かその下は、全員が１回戦を戦うわけでは
　なくて、２回戦から登場するチームもあったはずです。
　５０チームだとトーナメント表の下の方はどうなりますか？？

　・・・と、このようにトーナメント表を具体的に書いて
　考えていっても、もちろん答えに辿り着くことができます。
　が、試合数を求めるだけなら、もっと簡単に出来ます♪

　試合は１対１の勝ち抜き戦で行いますから、
　トーナメント表がどんな形になっていても、とにかく
　１試合行うごとに１チームが敗退していくわけですよね？
　５０チームから優勝を決めるということは、言い方を変えれば
　「４９チームを敗退させる」ことだから、試合数は４９です。


　それでは、改めて「試合数」の問題にいってみましょう♪

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　問題（初級）・・・知っている人もいるかな？簡単、簡単
←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←

　プロ野球のペナントレースやサッカーＪリーグのように、
　３２チームで１対１の総当たりリーグ戦を行います。
　同じ組み合わせの試合を１試合ずつとした場合、全部で
　試合数はいくつになるでしょう？


※この問題は、１１月２１日（土）配送分にて解説します。


→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→
　問題（中級）・・・これはちょっと手こずるかも知れません
←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←

　３２チームで総当たりリーグ戦を行うのは大変なので、
　勝ち残りトーナメント方式に少し手を加えた以下のような方式で
　１位から３２位までの順位をつけることを考えます。

　準決勝で負けたチームどうしで、３位決定戦をします。
　同じように、準々決勝で負けた４チームの間では
　準決勝・決勝・３位決定戦と同様に５位〜８位決定戦をします。
　さらに９位以下についても、１回戦で負けたチームまで含めて
　同様の方法で試合を行い、１位から３２位までの順位をつけます。

　この場合、全部で試合数はいくつになるでしょう？


※この問題は、１１月２８日（土）配送分にて解説します。

例によって、今週はじめに急に誘われてしまったのですが（汗）、ある出版社の「数学参考書意見聴取会」なる会議に今年も参加してきました。実はこの「会議」には、０７年度（一昨年度）から３年ほど連続して参加させていただいています。

＄ 参考：昨年度までの同様の会議に参加させていただいた際の日記です
＄「楽しみにしていた仕事！」
＄ → http://green.ap.teacup.com/reviewermizuno/898.html
＄「エキサイティングだった１日！」
＄ → http://green.ap.teacup.com/reviewermizuno/681.html

一昨年度は違う場所だったのですが、今回の場所は昨年度と同じ新大阪駅近くのとあるビルで、お伺いすると、見覚えのあるエレベーターに乗せられ、見覚えのある会議室に案内され、見覚えのある○○も出てきました。メンバーも、微妙に前回までと似通っていたりします。

・・・これは「デジャブ」ってやつでしょうか。デジャブどころか、まるで過去の世界にタイムスリップしたようです。一方では「昨年よりも良いことが言えるだろうか」という気持ちになりながら、他方では何だかとても落ち着いた気分で、始まりを待ちました。本題に入る前に話題になったのは、今年ならではというか、やはり新型インフルエンザの影響。どこの学校も学年・学級閉鎖、行事中止など、対応に追われていました。うちは文化祭がきちっと出来ただけ良かったと思います。

今回話し合われたのは、新しいセンター対策向け教材について。学校の授業で使うことを念頭に置いた、参考書と問題集をコラボさせた意欲作ということで、今回は収録問題の作成、監修をされた先生もまじえての会議でした。センター対策本は市販のものをよく見ていますが、基本事項の確認に重点を置くのか、それともセンター試験かそれに近い誘導パターンの問題に触れ、演習できることが大事なのか、生徒さんの学習段階と意識しだいのところもあり、やはりレベルの高い学校の先生は高いところを見ておっしゃっているなと思いました。

また、その場にいらっしゃった先生方の多くが、他社ですが１回３０分のテストゼミ形式の問題集を話題にしてらっしゃって、その会社の教材の影響の大きさも改めて感じさせられたのでした。



さて、会議も終了。デジャブついでに新大阪駅前の鳥料理屋に寄って、ひそかな好物

＊＊＊「まぜたらうまい」

・・・という、蒸し鶏に生卵の黄身と山芋やら梅肉やらネギやらをまぜて食べる冷菜があるのですが、それをつついてひと息。今日は６時間連続で授業があり、そのあと、この２時間程度の会議だったわけですが、不思議と疲労感はほとんどなく、いい気持ちになって帰宅しました。

　

１１月も半ばです。

今の時期、そろそろお尻に火がついてきた受験生の皆さん。そういう光景を横目に見ながら、現高２の皆さんも今度こそ意識を変えたいと、どこかで思っているのではないですか？

まず、書店の参考書コーナーに足を運んでみましょう。「目覚め」は、早ければ早いほど良いと筆者は思います。

最初は空振りに終わったとしても、その経験は次に生かされ（実は筆者もそうでした）、徐々に自分のスタイルと呼べるものも出来あがっていくと思うのですが、当サイトがその「空振り」を少しでも減らす助けとなれば幸いです。



　

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　『ねえ、今日から算数パズルやらない？』【フィードバック編】

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　発行者：水野 健太郎
　　　　http://green.ap.teacup.com/reviewermizuno/
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　先日、当メルマガの記事をまとめているブログ記事への
　コメントとして、嬉しいお便りをいただきました！

　梅田先生は、今年度に入ってから知り合い以後懇意に
　させていただいている塾長さんですが、当メルマガの問題と
　その解説を塾の生徒さんに紹介してくださっています。

＝＝＝＝＝

　ご無沙汰しています。
　ユニバ進学教室の梅田です。

　当教室にて、水野先生のパズルを不定期で宿題にしています。
　とても好評で、（特に頭のいい子は）毎回、楽しみにしています。
　何度も出来るまでやらせ、出来た子に解説を読ませています。
　自分で、解説を書ける能力はないので、そうお願いします。

＝＝＝＝＝

　梅田先生、どうもありがとうございます！
　ここまでご愛顧いただけて大変嬉しく、こちらが恐縮しています。
　ネタと気力の続く限り、これからも頑張っていきますので、
　応援と・・・あと問題提供もできれば（コラ！）お願いします♪


　さて・・・。

　今回初めて「上級問題」をお届けしましたが、ヒントかたがた
　初級問題として似た問題を出題していたこともあってか、
　見事正解が寄せられまして、筆者としてはホッとひと息です。

　それでは、解説していくことにします♪

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　問題（上級）の解答・解説
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　９つの連続した自然数（１以上の整数）の組を考えます。

　例えば「１，２，３，４，５，６，７，８，９」の組は、
　小さい方から順に１でわりきれる数、２でわりきれる数、
　３でわりきれる数、４でわりきれる数、５でわりきれる数、
　６でわりきれる数、７でわりきれる数、８でわりきれる数、
　９でわりきれる数のように並んでいます。

　では、同じ条件をみたす組のうち、１の次に小さい数から
　始まるものは、一体どんな組でしょうか？

→→→→→［解答・解説］

　初級問題の解説にも書いていましたが、まずはやはり

＊＊＊「条件の一部だけで考える」

　ということをしてみると、見通しがよくなります。
　そこで、１，２，３，４ぐらいで考えてみましょう。
　「１でわりきれる」というのは自然数ならみんなそうですから
　まあいいとして・・・

＄ １，２，３，４　←これが条件をみたす最も小さい組
＄ ２，３，４，５　←３が２でわりきれないからダメ
＄ ３，４，５，６　←４はＯＫだが５が３でわりきれない
＄ ４，５，６，７　←５が２でわりきれない

　このように調べていくのですが、これでもひとつひとつ
　チェックしていくときりがありませんね・・・。

　ここで、中級問題の解説をちょっと思い出してもらいます。
　中級問題（・・・といっても最後の答えをまとめるところは
　今の問題よりずっと難しかったかも知れませんけど）では

＄ ある自然数を○○でわったあまりは、
＄ ○○の倍数をたしたりひいたりしても変わらない

　という性質を使っていましたね。
　そこで、組の１つめの数から１、２つめの数から２、
　３つめの数から３、４つめの数から４をそれぞれひくと、
　それらはすべて１つめの数から１をひいたものになります♪
　・・・けっきょく、それぞれ

＄ ５，６，７，８　←４が２，３，４でわりきれるか
＄ ６，７，８，９　←５が２，３，４でわりきれるか

　だけを調べれば条件をみたすかどうかチェックできて、

＄ １３，１４，１５，１６　←１２は２，３，４でわりきれる

　このように、１から始まる組以外でも条件をみたすものが
　見つかることがわかりました。

　しかも、よくよく考えてみると、１２は２，３，４の
　最小公倍数ですから、もとの問題も、結局は２から９までの
　自然数の最小公倍数を見つけるだけの問題になるんですね！

　ともかく、初級問題と同じように最小公倍数を見つけます。

＄ ２，３，５，７は素数
＄ ４＝２×２，６＝２×３，８＝２×２×２，９＝３×３

　から、２で３回、３で２回、５と７で１回ずつわりきれる

＄ ２×２×２×３×３×５×７＝２５２０

　が最小公倍数ですから、これに１から９をたした

＄ ２５２１，２５２２，２５２３，・・・，２５２９

　が答えになるとわかります。


　３名のかた（１１月４日現在）から正解が寄せられました。
　たまりんさんは、前述のポイントにすぐ気づかれた様子で、
　筆者の想定よりもかなり早く正解を教えてくださいました♪
　仲条さん・高橋鑛さんも、見事正解にたどり着かれていました！

　次号は、また例によって【問題編】に戻ります。お楽しみに！

教科書に載っていない解法・発展事項をコンパクトに集めた本

「受験数学のテクニック５０」数学�VＣ（エール出版）

数学�V・Ｃ内容から、教科書学習時に差がつきやすい事項、教科書に載っていない解法を５０の「テクニック」として扱った演習書。表紙カバーのうたい文句「超役に立つ」「スーパー解法」は少々鼻につくが、扱われている内容は、中級以上の総合参考書であれば例題としても扱っているものが約半分、残りは上級の参考書では発展的な内容としてよく扱われているもの。

問題の解法の説明はそれなりにあるが、解答自体は多少そっけなく、使った公式等の注釈が欲しい人には向かない。また、各テクニックの練習ができる類題がついておらず、各問題が単発の印象を受けるなど、演習書としての完成度はいまひとつ。入試までの時期が迫った受験生など、短期間で一発逆転を狙いたいが、分厚い参考書を使い切る自信がない人に限定すれば、薦められないこともない。

著者は張ヶ谷守晃（はりがや・もりあき）先生。珍しいお名前なので、数学�T・Ａと�U・Ｂの解法テクニック集も同じ出版社から出されていることを知っていれば「ああ、�V・Ｃ版も出たんだな」と思ったはず。既刊書には、確かにもう少し目新しい事項（テクニック）も見られたので、そのような内容を期待する人もいるかも知れないが、数学�V・Ｃという科目の特性もあり、出版社が望むような内容の本に仕上げるのは難しかった様子。



【余談】

本自体の内容とはまったく関係ないが、個人的に気になったのが巻末。あとがき・著者プロフィールが書かれた見開きがあり、その次に張ヶ谷先生の「シリーズ」の既刊といっていい数学１・Ａ、２・Ｂ内容の本の紹介があったのだが、問題はその次のページ。エール出版社自身の宣伝ページになっているのだが、そこに大きく書かれていたのが次の文句。

＊＊＊「素人のあなたも本を書いてみませんか」

・・・このタイミング、一体何なんだろう。ここまで読んで、「なんだ、たいしたことない本だな。これなら自分にも書けそうだ」と思う者の存在をまるで予見していたかのよう。つまり、この出版社は、完成度の高い本を作るということをあえて目指していないということなのか。考えてみれば、それもひとつの戦略かも知れない。玉石混淆というか、初めからそういった眼で見られるデメリットを差し引いても、十分なメリットがあってそうしているというだけの話である。

ただし、受験生の皆さんには、そういった事情はどうでも良い。この出版社の本に関しては、玉石混淆ということをまずは認識して、一発逆転を狙いたい人が、もし万が一自分にピッタリ合った本を見つけられたら儲けものぐらいの意識で手にとってほしい。

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　　　　　『ねえ、今日から算数パズルやらない？』【解答編２】

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　発行者：水野 健太郎
　　　　http://green.ap.teacup.com/reviewermizuno/
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　・・・としてお届けしようと思っていた「ボツ解説」です（汗）
　書いていて、あまりにも長ったらしくなり、当メルマガの
　アドバイザー、文系ビトさんからも

＊＊＊「１回読んで理解できなかった・・・」

　とダメ出し（？）をくらいましたので、メルマガとして
　お届けするのはやめて、ここで公開させていただきます♪


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　問題（中級）の解答・解説
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　あなたは、お友達に、１から１０５までの整数のどれかを
　思い浮かべてもらうことにします。それをＸとします。

　そして、Ｘを３で割ったあまりＡ、Ｘを５で割ったあまりＢ、
　Ｘを７で割ったあまりをＣを、それぞれ教えてもらいます。

　あなたは、こうして得られたＡ，Ｂ，Ｃから、
　もとのＸを求めたいと思います。
　もちろん、しらみつぶしに調べればいつかは分かりますが、
　ある式に当てはめて計算すれば、簡単にＸを求められるんです。

　・・・そんな方法ってあるんでしょうか？考えてみてください。

→→→→→［解答・解説］

　とりあえず、前回の初級問題と同じく

＊＊＊「最初は試しに条件の一部だけを考えてみる」

　ことにしますが、この「一部」の取り出し方が、
　初級問題とはひと味違っていて、若干難しくなります。

　いま、ＡとＢがともに１であるとしましょう。
　すると、３でわっても５でわっても１あまる数として
　例えば３１が見つかり、この数を７でわると３ですから、
　もしＸが３１だとすると、Ａは１、Ｂは１、Ｃは３です。

　・・・でも、もしかするとお友達は
　「Ａが１、Ｂが１、Ｃは５」と言うかも知れないわけです。
　そこで、Ｘにいくつかをたすことによって、
　ＡとＢを変えずにＣだけを変えようとしてみます。

　そのために、わり算とあまりの関係を少し見直しましょう。
　わり算の、わる数と商とあまりが与えられたときに
　わられる数を求める方法があったのを覚えていますか？

＄ ３１÷３＝１０あまり１　→　３１＝３×１０＋１
＄ ３１÷５＝６あまり１　　→　３１＝５×６＋１

　・・・こう書くと、

＄「３１に３の倍数をたしても３でわったあまりＡは変わらない」
＄「３１に５の倍数をたしても５でわったあまりＢは変わらない」

　ということがよりはっきりしますね？（ひいても同じです）

　ということは、Ｘに「３の倍数でも５の倍数でもある数」を
　たすと、ＡとＢを変えずにＣだけを変えられそうです。
　これを「３と５の公倍数」といいますが、この場合、３と５を
　かけると、最も小さい（最小公倍数）１５が見つかります。

　実際、先ほどの例（Ｘが３１のとき）で言うと、

＄ ３１＋１５＝３×１０＋３×５＋１＝３×１５＋１←これがＡ
＄ ３１＋１５＝５×６＋５×３＋１＝５×９＋１←これがＢ

　のように書けて、確かにＡもＢも１のままの状態が保てる
　ことが確かめられましたが、Ｃはどうなるでしょうか？
　３１と１５を７でわったわり算を先ほどと同じように書くと、
　「３１＝７×４＋３」「１５＝７×２＋１」となるから、

＄ ※比較してみましょう！＞＞＞＞３１＝７×４＋３
＄ ３１＋１５＝７×４＋３＋７×２＋１＝７×６＋４

　１５をたすと、７でわったあまりＣは１ふえます！
　同じように、１５をひくと７でわったあまりは１へって、
　結局、１５を１回たすごとに、ＡとＢは変わらずＣだけを
　このたした回数ぶんだけふやすことができるとわかります。
　同じように、今度はＡとＣを変えずにＢだけを変えようと
　してみると、Ｘに３と７の最小公倍数２１をたした回数ぶん
　だけＢをふやせることがわかります♪

　・・・ただし、同じようにＡについて考えようとすると、
　実はここだけ少しややこしくなり、注意が必要です。
　一応、ここまでたどり着いた人なら、

＊＊＊「そうか、５と７の最小公倍数３５を使えばいい」

　と気づくと思いますが、先ほどと同じように３でわった
　あまりについて考えてみると、「３５＝３×１１＋２」より、
　３５をたしても確かにＢとＣは変わらないけれど、
　１回たすごとにＡは２ふえてしまいます・・・。

　そこで、もう少し工夫できないかと考えてください。
　５と７の公倍数でさえあればＢもＣも変わらないわけだから、
　・・・そう、「最小」公倍数にこだわる必要はないんです！

＄ ３５＝３×１１＋２　←これだと使いにくい・・・
＄ ７０＝３×２３＋１　←この方が使いやすい！！

　このように考えると、Ｘに７０をたすと、
　ＢとＣを変えずにＡだけを１ふやせることがわかります。

＃ まあ、この問題の場合は、Ａは３でわったあまりなので
＃ ０か１か２しかなく、「Ａが１なら７０をたして、
＃ Ａが２なら３５をたす」というふうに分けてしまっても
＃ 別に構わないのですが（一応これでも正解とします）
＃ 発展させて例えば「５と７と１１でわったあまりを
＃ それぞれＡ，Ｂ，Ｃとする」という問題にしたときなどは、
＃ 今の考え方をきちんと知らないと対応できないでしょう？

　まとめてやると、Ａ，Ｂ，Ｃがそれぞれ与えられたとき、
　０から始めて、７０をＡの数だけ、２１をＢの数だけ、
　１５をＣの数だけたしていくと、お友達がＡ，Ｂ，Ｃとして
　どのような数を言ってとしても、同じＡ，Ｂ，Ｃをもつ
　自然数を１つ作りだすことができるんです。
　・・・そう、下のようなかけ算をして、たせばいいですね♪

＄ Ａ×７０　」５と６の公倍数で、３でわったあまりがＡ
＄ ＋Ｂ×２１」７の倍数で、３でわったあまりがＡ，
＄ 　　　　　　　　　　　　５でわったあまりがＢ
＄ ＋Ｃ×１５」３，５，７でわったあまりがそれぞれＡ，Ｂ，Ｃ

　ただし、この計算だけだと確かにＡ，Ｂ，Ｃの条件をみたす
　自然数をつくることが出来ますが、それが１から１０５までに
　入る保証はなく、大抵１０５より大きくなってしまいます。
　そこで、最後に１０５を何回かひく（つまり、１０５でわった
　あまりを求める）ことで、Ｘを求めることができます。

　こうして、いわゆる「百五減算」の答えとして知られている
　答えにようやくたどり着くことができ、

＄「Ａ×７０＋Ｂ×２１＋Ｃ×１５」を１０５でわったあまり

　・・・がＸであるとわかります。
　これなら、この仕組みさえ理解してしまえば、
　小さい紙にでもパパッと書いて計算することができ、
　しらみつぶしに調べていくよりもずっと早く答えが出ます♪
　一応例外として、ＡもＢもＣも０のときは答えは明らかですから、
　この式にあてはめず普通に「１０５」と答えてください。

　それにしても、世界で最初にこのやり方を思いついた人は、
　文句なしに大天才ですよね！・・・どう考えたんでしょう？
　もしかして、気になる異性の年齢を知りたくて、その人に
　年齢を直接たずねずに年齢を聞き出す方法はないかと、
　あれこれ試行錯誤してこのやり方にたどり着いたのでしょうか。