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投稿者:sterai
 『中高一貫数学コース 数学2』(志賀浩二(著) 2002年 岩波書店)では、最初から無限級数の和の公式「a/(1-r)」(初項a、公比r)を用いて、循環小数を分数に直す説明をしている。

 0.999…=0.9+0.09+0.009+…=0.9/(1-0.1)=0.9/0.9=1

 また、他の自然数や小数も無限小数として表わすことができることも触れられている。

 2=1.999…
 3.56=3.55999…

 他の箇所では、こういった極限値を表現する場合の等号(「=」)は、「2+3=5」というような場合の等号とは意味が違うとも述べられている。

 「近づいていく先」としての「極限値」、実数は「近づく」という考えのもとに成り立っている数の世界。そこから「解析」の世界が始まっているようだ。
投稿者:sterai
 こういう計算の仕方って最近の中学校の数学の教科書には載ってるのね。

 ひょっとすると、僕が見ていた教科書にも載っていたのか!?
投稿者:sterai
 1/1と0.999…は「同じ数的実体の異なる表記」ということなのか。1/3と0.333…がそうであるように。

 最近わかってきた(そう思う、感じるようになってきた)のは、無限小数は無限に続くように「見える」けど、ちゃんと「割り切れている」、大きさは確定している、ということかな。
投稿者:sterai
 『虚数の情緒』(吉田武 2000年 東海大学出版会)によると、数そのものと、それをどう表記するかは異なるらしい。つまり、そこにはシニフィアンとシニフィエの関係があるということで、0.999…と1は、異なる表記(シニフィアン)だけど、その意味内容(シニフィエ)は同一、というような理解ができるようだ。
投稿者:sterai
 上の「9.99999999・・・と0.99999999・・・の小数点以下は全く同じだから」について。以前は、「だって両方とも無限に続くんだから」という感覚的な言い方しかできなかったのだけど、1/3=0.333…と10/3=3.333…の小数部分が同じというのは自明。で、x=1/3なら、xと10xの小数部分が同じ、というのは納得がいく。
投稿者:sterai
 曰く「そう残念がらないで。そうやって、くり返し数直線に裏切られていくうちに数直線ってどういうものか、だんだんにわかってきます。また、そうする以外に数直線をわかる方法はないんです。だって、現実には存在しえないものですから。」
投稿者:sterai
 今、『生き抜くための数学入門』(新井紀子 理論社 2007年)という本を読んでいるんだけど、これ凄いよ。まだ3月だけど既に(僕の中で)本年度No.1の呼び声高し。

 曰く「ということは、数直線を2つに切ると、片方にしか端がない、ということになります。数直線は、現実にはありえない、とても変てこな線なのです。」

 曰く、「だとしたら、無限ってどこにあるんでしょう。無限は人間の論理が生み出した想像の産物だと言っても過言ではありません。無限は私たちの外にある、というより、私たちの頭のなかに、論理のなかにあるんです。

 無限の世界を進むには、日常の直感はほとんどあてになりません。論理だけで進む以外にないのです。3.999……と4を見たら、「先頭の数が3と4だから、3.999……<4にちがいない」と思うのは日常の直感です。けれども、それでは論理で構築してきた数の世界がこわれてしまう。数の世界を救うには、3.999……=4でなければ困るのです。そうやって、無限の世界を進んでいったのが過去の数学者たちだといえるでしょう。」

 無限について、小中学生相手に真剣に説明しているわけ。これは、こういうチャレンジをする、というだけでも凄いことだよ。
投稿者:sterai
 実数を英語でreal numberというというのも面白い。
投稿者:sterai
 今、初めて「実数の虚構性」(あるいは「数学の虚構性」「数学世界と現実世界のズレ」「認識できる世界と概念的な世界のズレ」)みたいなものを目の当たりにしているのかもしれない。

 実数は概念的には確かに数直線上に存在しているわけだけど、(Πとか√2とか記号を用いなければ)数として書き表すことができない。実数は書き表せないわけだから、0から1への最小の第1歩すら記述できない。これじゃ1歩も進めない。
 「アキレスと亀」のパラドクスの何が面白いのかわからなかったのだけど、だんだんわかってきた。
投稿者:sterai
 グランドを走りながら考えた。僕は視覚的にものを考えるタイプなので、幾何学的にイメージしてみよう。

 数直線を考える。1という点があって、左の方からすーっと1へ近づいていく。で、1 = 0.999999・・・は正しいらしい。それなのに、右からすーっと1へ近づいていって、1 = 1.000000・・・、というのはダメらしい。直感的にはこれはおかしい。やってることは(左右対称なのだから)同じなのに。

 とすると、そもそも1という点に左や右から近づいていくところを想像しているのが間違いなのだろう。絶対値の小さい方から近づく時はOKらしいが、絶対値の大きい方から近づくのはダメ。「絶対値の小さい方から」というのが決定的に重要なのだろう。0より絶対値の小さな数はないから、0 = 0.000000・・・はダメ。

 無限、というのはやはり難しいな、というのが現在の率直な感想。
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