水野の数学参考書レビュー［高校数学・大学入試］

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　　　　　『ねえ、今日から算数パズルやらない？』【解答編１】

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　発行者：水野 健太郎
　　　　http://green.ap.teacup.com/reviewermizuno/
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　それでは、初級問題を解説します♪
　どんな問題だったか、思い出してみてください！

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　問題（初級）の解答・解説
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　川の片方の岸に、お母さんトラと３頭の子トラがいて、
　この４頭は、今から川の反対側の岸に移ろうと思っています。

　この川は意外と深くて流れも速いので、お母さんトラは
　１頭ずつ子トラを背中に乗せて、川を渡ることにしました。
　ところが、子トラのうち１頭（仮にＡとします）は
　たいへん凶暴で、お母さんトラが一緒にいてあげないと、
　暴れ出して他の子トラ（Ｂ，Ｃ）を傷つけてしまいます。

　さて、４頭は無事川を渡ることができるでしょうか？
　お母さんトラに、どのような順番で子トラを
　連れていけばうまくいくか、教えてあげてください。


→→→→→［解答・解説］

　問題文に「教えてあげてください」と書いてしまいましたが、
　・・・一応、人間の言葉がトラに通じることにしますね（汗）

　この問題の最大のポイントは、もちろん子トラＡを
　他の子トラと一緒にしないことですよね。

　例えば、もしお母さんトラ（以下「母トラ」）が
　最初に向こう岸にＢを連れていくと、岸に残されたＡが
　Ｃを傷つけてしまい、無事ではなくなってしまいます。
　このように考えると、最初に母トラが向こう岸に
　連れていってよいのは、Ａでしかありえません。

　そこで、母トラがまずＡを向こう岸に連れていき、
　戻ってきたあと、残った２頭のうち１頭
　（どちらでも良いのですが、ここでは仮にＣとします）を
　向こう岸に連れていった直後の状態までを考えましょう。
　すると、下のようになります♪（右が向こう岸です）

＄母ＡＢＣ｜〜〜〜｜
＄　　　　　→母Ａ
＄　　ＢＣ｜〜〜〜｜母Ａ
＄　　　　　　母←
＄　母ＢＣ｜〜〜〜｜Ａ
＄　　　　　→母Ｂ
＄　　　Ｃ｜〜〜〜｜母ＡＢ

　・・・問題はこのあとです。

　先ほどと同じように、母トラが１頭だけで元の岸へ戻ると、
　残されたＡがＢを傷つけてしまいますよね？
　・・・そこで、どうしなければならないかというと、
　母トラはここで一旦Ａを連れて元の岸へ帰るのです♪

＄　　　Ｃ｜〜〜〜｜母ＡＢ
＄　　　　　母Ａ←
＄　母ＡＣ｜〜〜〜｜Ｂ
＄　　　　　→母Ｃ
＄　　　Ａ｜〜〜〜｜母ＢＣ
＄　　　　　　母←
＄　　母Ａ｜〜〜〜｜ＢＣ
＄　　　　　→母Ａ
＄　　　　｜〜〜〜｜母ＡＢＣ　（成功！！）

　途中、母トラが元の岸と向こう岸の間をウロウロしたり
　することを除けば、３頭を向こう岸に連れていく方法は
　ここで示した手順になり、母トラは計７回川を渡ります。
　普通に３頭を向こう岸に連れていくよりも２回多く
　川を渡らなくてはなりませんが、自分の家族を守るためには
　人知れず（？）苦労しなくてはならないようです・・・。


→→→→→［参考］

　特にこういう問題を解くのが初めての人にとっては、
　後半部分を考えるのが少し難しいと思いますが、
　このとき、知っていると大事な手がかりが見つかって、
　さらに問題によっては試さなくてはならない手順が
　大幅に少なくなることもある、ちょっとしたコツがあります。

　＊＊＊「逆から考える」

　・・・このテクニック、意外と知られていないのですが、
　例えば今の問題で、最後の１手を逆から考えてみてくれますか？

　そのとき、向こう岸には２頭の子トラが待っていて、
　母トラが最後の１頭のトラを連れて向こう岸に渡ると
　「成功！！」となるわけですが、もし待っている子トラが
　ＡとＢ（もしくはＡとＣ）であればどうでしょう？
　・・・喧嘩しちゃいますよね！
　まあ言われてみれば当たり前なんですが・・・。

　ということは、母トラが最後に元の岸から向こう岸へ
　連れて渡るのは、Ａの子トラでなくてはなりません。
　・・・そして、これを上の解説で言う「前半」の
　最後の状態と比較してみると、・・・あることに気づきます。

＄　　　Ｃ｜〜〜〜｜母ＡＢ
＄
＄　　　　　？？？
＄
＄　　母Ａ｜〜〜〜｜ＢＣ
＄　　　　　→母Ａ
＄　　　　｜〜〜〜｜母ＡＢＣ

　・・・そう、いつの間にか、Ａが元の岸に戻っています！！

　もちろん「いつの間にか戻る」というのは本当はウソで、
　母トラがＡを連れて向こう岸から元の岸に戻るわけですが、
　この「一見ムダな１手」がなければ、この４頭の川渡りは
　決して成功しないということが、実は分かってしまうのです♪

　さらに、そう考えると、普通の場合の手数５回に加えて
　（母トラは行って戻らなくてはならないので）最低で
　プラス２回は手数が必要であることも分かり、上の解答の
　「７回」が最小の手数だということまで含めて理解できます。

　ところで・・・、

　こういった「川渡り」の問題は、大昔から人々の間で
　繰り返し出題され、また研究されてきた問題です。

　実は、今回紹介した母トラと３頭の子トラの話も、
　調べてみると中国の古い説話だそうで、日本でもお寺の庭園
　（京都の龍安寺・南禅寺など）のモチーフにされています。
　筆者はたまたまその南禅寺を訪れてこの話を知ったのですが、
　日本人も昔から「算数パズル」を考えていたのかなあと
　少々びっくりしてしまいました・・・。

　探せば、似たような問題はいろいろ見つかります。
　その１つで有名なものを以下にあげておくことにしますが、
　上の問題とほとんど同じように考えていけますから、
　よかったら「復習」がてら挑戦してみてはどうでしょう？

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　問題（初級）の類題
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　川の片方の岸に小舟があって、お百姓さんが
　「オオカミ」「ヤギ」「キャベツ」の３つをこの小舟で
　向こう岸まで運ぼうとしています。

　小舟には、いっぺんに１つのモノしか乗せることが出来ず、
　お百姓さんがいないところでオオカミとヤギが一緒になると
　オオカミがヤギを襲い、ヤギとキャベツが一緒になると
　ヤギがキャベツを食べてしまいます。

　無事に３つすべてを向こう岸に運ぶには、お百姓さんは
　どのような順番でこれらを運べばよいでしょうか？


　・・・

　まず何を運ぶか、すぐパッと出てくるようになりましたか？
　では、最後に中級問題のヒントを出して終わりにします。

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　問題（中級）のヒント
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　１０リットルの油の入った容器があり、
　ここから５リットルの油を取り出したいと思います。

　ところが、手元には他に３リットルと７リットルの容器が
　それぞれ１個ずつしかなく、しかもこれらの容器は
　不規則な形をしていて、目盛りなども一切ついていません。

　１つの容器に入れた油を他の容器に入れ替えたりして、
　５リットルの油を取り出すにはどうすればよいでしょうか？
　ただし、油を捨てたりしてはいけません。


→→→→→［ヒント］

　この問題も、初級問題と同じように、まず最初の何手かを
　考えたのち、同時に最後のほうの手順からさかのぼってみると、
　ただ試行錯誤するだけより早く答えに辿り着けるはずです。


※この問題は、１０月３日（土）配送分にて解説します。